Größenabschätzung n-te Primzahl

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H4wk Auf diesen Beitrag antworten »
Größenabschätzung n-te Primzahl
Hallo!

Ich soll folgende Aufgabe lösen:
Sein die -te Primzahl in der natürlichen Reihenfolge, also
Zeigen Sie:
1. für alle und für und folgern sie
2. für alle

Bisher hab ich noch keine Ansatz gefunden. Kann man 1. mit Induktion beweisen?
Wäre sehr dankbar für einen guten Tipp!
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von H4wk
Bisher hab ich noch keine Ansatz gefunden. Kann man 1. mit Induktion beweisen

Ja. Du kennst doch sicher Euklids Beweis der Unendlichkeit der Primzahlenmenge? Das dort verwendete Konstruktionsprinzip für eine "noch größere" Primzahl kannst du hier im Induktionsschritt nutzen.
H4wk Auf diesen Beitrag antworten »

In Euklids Beweis konstruiert man eine Zahl , aber die Zahl ist ja nicht zwingend die nächstgrößere Primzahl .
Wie kann ich das dann in dem Induktionsbeweis benutzen?
Das einzige was mir eingefallen ist, ist aber das führt irgendwie zu nichts...
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von H4wk
In Euklids Beweis konstruiert man eine Zahl , aber die Zahl ist ja nicht zwingend die nächstgrößere Primzahl .

Das ist richtig, aber sie ist zumindest , und das reicht im Induktionsschritt - setz doch mal ein. Die Potenzgesetze solltest du natürlich schon einsetzen, wenn es darum geht, das Produkt der Zweierpotenzen zu vereinfachen!!!
H4wk Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab jetzt folgenden Satz verwendet:
Für jedes existiert eine Primzahl mit .
Wenn man im Induktionsschritt setzt, dann hat man eine Abschätzung .
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Das nennt man dann wohl "mit Kanonen auf Spatzen schießen", da der verwendete Satz um etliche Größenordnungen schwerer zu zeigen ist, als die eigentliche Behauptung...Du solltest schlicht und einfach den Hinweis von Arthur beachten, dass erstens gilt



und zweitens das Produkt auf der rechten Seite noch ausgerechnet und abgeschätzt werden muss...
 
 
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von H4wk
Für jedes existiert eine Primzahl mit .

Man sollte ergänzend noch sagen, unter welchen Namen das bekannt ist:

Bertrands Postulat, exakter wäre allerdings Satz von Tschebyscheff.

Ich würde allerdings Satz von Bertrand-Tschebyscheff bevorzugen, da der gute Tschebyscheff einfach zuviel gemacht hat und das daher zu Verwechslungen führen könnte. Augenzwinkern
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