Abstandsberechnung: Punkt - Gerade

27.10.2009, 19:02

Pianomatze91

Abstandsberechnung: Punkt - Gerade

Hallo zusammen.
Ich komme bei einer längeren Aufgabe nicht weiter. Es geht um Anwendungen zum Rechnen mit Vektoren, insbesondere um Inzidenzprobleme. Die Aufgabe:

"Gegeben sind vom Trapez ABCD die Punkte A(-2;2), B(6;-2) und D(2,3). Die Strecken AB und CD sind parallel."
a) "Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes C so, dass die Strecke AB die vierfache Länge der Strecke CD hat."

Zu dieser Teilaufgabe hab ich die Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{AB} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 4*\vec{CD} \end{eqnarray*}$ gleichgesetzt und bekomme am Ende C(0;4) heraus. Stimmt das?

b) "Stellen Sie die Diagonalenvektoren $\begin{eqnarray*} \vec{AC} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{AD} \end{eqnarray*}$ mit den Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{AB} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{AD} \end{eqnarray*}$ dar. Geben Sie die Diagonalenvektoren auch als Spaltenvektoren an."

Dazu hab ich mir gedacht, dass die bestimmt AC und BD gemeint haben, weil AD ist kein Diagonalenvektor. Außerdem kann man zwar BD darstellen mit
$\begin{eqnarray*} \vec{BD} = - \vec{AB} + \vec{AD} \end{eqnarray*}$ aber AC kann man nur mit AB und AD doch gar nicht darstellen, oder?

c) "Welche Punkte auf der Geraden AB haben von Punkt A den Abstand
$\begin{eqnarray*} d = 8*\sqrt{5} \end{eqnarray*}$ ?"

Bei der Aufgabe komme ich gar nicht weiter. Eine Formel wäre vielleicht
$\begin{eqnarray*} \vec{OP} = \vec{OA} + s*\vec{AB} \end{eqnarray*}$ .
Aber das hat irgendwie nicht geklappt.

Wär super wenn mir jemand helfen könnte! smile

Matze

27.10.2009, 19:25

riwe

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RE: Abstandsberechnung: Punkt - Gerade
bei a) da bist du in die falsche richtung marschiert Augenzwinkern

ich erhalte $\begin{eqnarray*} C(4/2) \end{eqnarray*}$
b) da hast du wohl recht
c) $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}\pm\frac{8\sqrt{5}}{4\sqrt{5}}\begin{pmatrix} 8 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

du marschierst einfach diese länge entlang der geraden auf und ab, dazu mußt du den richtungsvektor normieren smile

27.10.2009, 20:22

Pianomatze91

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RE: Abstandsberechnung: Punkt - Gerade
Danke für die Antwort! smile

Bei a) der Ansatz stimmt doch, oder? Also:

$\begin{eqnarray*} \vec{AB} = \begin{pmatrix} 8 \\ -4 \end{pmatrix}, \vec{CD} = \begin{pmatrix} 2-x \\ 3-y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und jetzt gilt: AB = 4*CD

So, dann stell ich ein lineares Gleichungssytem auf und da bekomme ich x=0 und
y=4 heraus. Wo liegt mein Fehler?

Zu c)
Dass ich sowohl plus und minus rechnen muss, habe ich mir schon fast gedacht. Aber ich wusste nicht, wo ich d einfügen sollte. Warum muss ich dort als Zähler d und als Nenner d/2 nehmen?

Danke für die schnelle Antwort! smile

27.10.2009, 20:30

riwe

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RE: Abstandsberechnung: Punkt - Gerade

Zitat:

Original von Pianomatze91
Danke für die Antwort! smile

zu a) steht doch oben, du marschierst in die falsche richtung smile

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AB}=4\overrightarrow{DC} \end{eqnarray*}$ NICHT $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{CD} \end{eqnarray*}$

zu c) das ist "zufall", man kann auch annehmen, dass es einen grund hat, warum der aufgabensteller $\begin{eqnarray*} d=8\sqrt{5} \end{eqnarray*}$ gewählt hat, bzw. dass er genau deshalb d so gewählt hat.

im NENNER steht der normierungsfaktor - siehe auch hier oben - des richtungsvektors:

$\begin{eqnarray*} n=\sqrt{8^2+4^2}=4\sqrt{5} \end{eqnarray*}$

wenn du mißt, mußt du halt immer einen geeigneten maßstab nehmen, das heißt auf die länge 1 normieren.

ok smile

27.10.2009, 20:54

Pianomatze91

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Ok, das mit c) hab ich so einigermaßen verstanden. Man rechnet also $\begin{eqnarray*} \vec{n} / |\vec{n}| \end{eqnarray*}$ .
Ok, mit a) versteh ich deinen Rechenweg, aber warum muss ich unbedingt in die andere Richtung laufen? In der Aufgabe steht doch "der Strecke CD". Entschuldigung dass ich so schwer von Begriff bin... Engel