Summendarstellung der Fibonacci Zahlne

Neue Frage »

SunnyDK Auf diesen Beitrag antworten »
Summendarstellung der Fibonacci Zahlne
Kann mir da einer helfen wie ich vorgehen soll bitte. HHab kein plan
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Schöne Aufgabe, diese Summendarstellung habe ich noch nie gesehen. Versuch's doch mal mit einem Induktionsbeweis.
SunnyDK Auf diesen Beitrag antworten »

joa wäre ein versuch wert
asda Auf diesen Beitrag antworten »

dein lösungsansatz würde mich dann sehr interessieren, sowas habe ich nämlich auch noch nie gesehen Augenzwinkern
Rumpfi Auf diesen Beitrag antworten »

ich geh davon aus, dass gilt.
SunnyDK Auf diesen Beitrag antworten »

also ich bin nun heute abend etwas ratlos wie ich da rangehen soll. das diese "rechnung" was wird...
 
 
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Da bin ich wieder. Die Aufgabe kann tatsächlich etwas ungemütlich werden. Aber ich habe mir ein paar Gedanken gemacht:

1. Die Formel lautet .
Ich möchte die Formel aber so umstellen, dass sie für funktioniert und mir dabei ausgibt (vorher gab sie aus ).
Also ändere ich sie erstmal so: .

2. Eine wichtige Beobachtung: Das letzte Glied der Summe lautet, d.h. der letzte Summand, .
So, wenn wir nun die Summe "verlängern" würden, das heißt ein annehmen würden, dann ergäbe sich folgendes:
Zum einen (da die Laufindizes natürlich sind, ist der nächstsgrößere eben der +1) und somit sofort als neuer letzter Summand , das ist jedoch Null, für alle .
Das heißt wir können unsere Summe beliebig verlängern und so in die einfachere Darstellung umwandeln.

3. Dies lässt sich recht geradlinig per Induktion beweisen, wenn man mit als Null auffasst. Zumindest war das bei mir notwendig. Vielleicht geht es auch ohne diese (möglicherweise etwas ungewöhnliche Konvention).

Wie ich schon sagte, tolle Aufgabe.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Gott, wären nur alle Beziehungen für Fibonaccizahlen so leicht zu "sehen" wie diese... traurig

Zunächst einmal sieht man sofort, dass



für n=-1 (leere Summe!) und n=0 tatsächlich erfüllt ist... Um zu sehen, warum der Ausdruck auf der rechten Seite die Rekursionsbeziehung für Fibonacczahlen, nämlich



erfüllt, solltest du einfach mal einige Werte für aufeinanderfolgende n ansehen, z.B.





und konsequent die Beziehung



einsetzen... Wenn es dann noch nicht "klick" macht...
Manus Auf diesen Beitrag antworten »

Edit:

War Unfug. Hab's rausgenommen um keinen zu verwirren.
temporär Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
kannst deinen Gedanken mal bitte weiterführen und dabei eine Erläuterung beschreiben. Wäre nett wenn diese auch "normalsterbliche" verstehen würden ;-)
Bzw. expliziet was die zweite Formel damit zu tun hat.

Danke
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von temporär
Hallo,
kannst deinen Gedanken mal bitte weiterführen und dabei eine Erläuterung beschreiben. Wäre nett wenn diese auch "normalsterbliche" verstehen würden ;-)
Bzw. expliziet was die zweite Formel damit zu tun hat.

Danke


Hm, bin mir jetzt nicht sicher, ob das an mich gerichtet war...Selbst wenn, hab ich ja oben schon alles gesagt, aber wenn es hilft, dann betrachten wir einfach dazu nochmals in aller Ausführlichkeit eines der beiden Beispiele, nämlich

Zitat:
Original von Mystic



Unter Verwendung der Formel



sieht man dass sich die 3.Zeile gerade als Summe der 1. und 2.Zeile ergibt, wobei ich die Summanden genau so untereinander geschrieben habe, dass man diese Formel schön anwenden kann, also



während dies für den "Rand" wegen



trivialerweise gilt...
Bobbie Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jester. und somit sofort als neuer letzter Summand , das ist jedoch Null, für alle .


Hab ich was falsch verstanden oder ist das falsch?

für n= 5 kommt da bei mir 1 raus
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

AD Auf diesen Beitrag antworten »

@jester

Da vielen nur die "Fakultätsdefinition" des Binomialkoeffizienten geläufig ist, sollte mal noch dazu gesagt werden, dass dies auf der allgemeineren Definition



für beliebige reelle Zahlen und natürliche Zahlen beruht (im Fall k=0 ist das "leere" Produkt wie sonst auch üblich gleich 1 zu setzen).
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

So geht es natürlich auch. Ich kenne das einfach als Konvention , was ja dann auch wieder der Anzahl der Möglichkeiten entspricht, k Elemente aus n zu ziehen. Es gibt eben nicht so wahnsinnig viele Möglichkeiten, 3 aus 2 Elementen zu ziehen. Augenzwinkern
AD Auf diesen Beitrag antworten »

In dem Zusammenhang:

Zitat:
Original von jester.
wenn man mit als Null auffasst. Zumindest war das bei mir notwendig. Vielleicht geht es auch ohne diese (möglicherweise etwas ungewöhnliche Konvention).

Wirklich ungewöhnlich - im Sinne der gerade von mir genannten erweiterten Defintion ist nämlich ganz im Gegenteil dazu für alle natürlichen Zahlen . Augenzwinkern

So muss die Defintion übrigens lauten, wenn man will, dass die binomische Reihe



auch wirklich so stimmt...
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Dass es an dieser Stelle haken könnte, war mir klar. Aber ich wollte durch Induktion zeigen, und im Induktionsschritt mit sind dann, beim Aufteilen des Binomialkoeffizienten (mit der üblichen Rekursion) diese ganzen fiesen Teile aufgetaucht, von denen eines übrig geblieben ist, wenn ich das richtig im Kopf habe. Daher habe ich diese Annahme getroffen und der Beweis ging wunderbar auf.

Aber vielleicht sollte ich auf diese Stelle noch mal einen Blick werfen... Big Laugh
temporär Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
danke erstmal, hat mir schon viel gebracht. Die logische Verbindung habe ich jetzt auch entdecken können. Nur für den Beweis fehlt mir jetzt der Ansatz.
Wie kann ich rechnerrisch zeigen das die Summendarstellung der Fibonacci-Zahlen mit der in der induzierten Formel vom Pascalschen Dreieck zusammen hängt?

Danke,
mfg
fibo Auf diesen Beitrag antworten »

Hi!
Wenn ich den Beweis per Induktion über die rekursive Definition der Fibonaccizahlen angehe, stellt sich mir die Frage, ob und wie ich die zwei Summen zusammenfassen kann:

Für ein ungerades n ließen sich die Summen ja zusammenfassen, aber für ein gerades n sehe ich hierbei keinen Weg. Könnt ihr mir da weiterhelfen?
Nach einer Indexverschiebung in der ersten Summe, bin ich dann komplett ratlos, wie ich diese Summen zusammenfassen soll:
Nach dem Zusammenfassen der Summen ließen sich die beiden Terme ja dann zum gewollten zusammenfassen.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Tja, sagen wir mal so, du bist schon an der Aufgabe



im Zusammenhang mit der Indexverschiebung korrekt zu berechnen kläglich gescheitert... traurig

Im übrigen würde ich mir an deiner Stelle eines meiner früheren Postings hier noch einmal genau ansehen, wo ich exemplarisch für gerades und ungerades n dargestellt habe, wie man richtig zusammenfaßt... Die Übertragung auf den allgemeinen Fall sollte dann ja wohl ein Kinderspiel sein... Wink
temporär Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
mir fehlt nur noch ein schritt zur lösung ;-)
Ich habe nun die Formel in die Definition für Fibonacci eingesetzt und aufgelöst. Jetzt stehe ich genau an dem Punkt der Fallunterscheidung. Ich brauche eigentlich nur eine Antwort. Warum unterscheidet man an dem Punkt ob n gerade oder ungerade ist? Also ich meine was macht da den unterschied sodass man dies tun muss. Es ist eigentlich nur noch ein logisches Problem gerade.
Danke schonmal!
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Sozusagen auf vielfachen Wunsch, nachfolgend ganz allgemein nochmals die Fallunterscheidung für gerades und ungerades n... Ich habe dazu die rechte Seite der zu beweisenden Gleichung



mal vorläufig mit bezeichnet...

Der Anfang ist noch für beide Fälle gleich, nämlich



Aber dann kommt eine Fallunterscheidung, nämlich

1. Fall: n gerade, daher ist



und es geht oben weiter mit



2. Fall: n ungerade, daher ist



und es geht oben weiter mit



Da außerdem



wie schon früher ausgeführt wurde, gilt somit tatächlich ganz allgemein

asda Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mystic

und es geht oben weiter mit


[/latex]


Kann mir das jemand nochmal genauer erklären? ich verstehe das nicht, vor allem wo kommt dieses Binom her??Sonst kann ich soweit folgen.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von asda
Zitat:
Original von Mystic

und es geht oben weiter mit


[/latex]


Kann mir das jemand nochmal genauer erklären? ich verstehe das nicht, vor allem wo kommt dieses Binom her??Sonst kann ich soweit folgen.


Schau dir dazu einfach noch einmal dieses Beispiel an, wo mit den Bezeichnungen des Beweises n=7, d.h., n ungerade ist (Achtung: Die oberste Zeile entspricht , die zweite Zeile , die unterste Zeile schließlich , d.h., der Index ist um 1 noch oben verschoben gegenüber der Beschriftung am linken Rand!)

Zitat:
Original von Mystic



Das Binom entsprich dabei genau dem Binom rechts oben, das nach dem Aufsummieren der beiden Zeilen zu dem Binom wird...
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »