Spektralradius

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kingskid Auf diesen Beitrag antworten »
Spektralradius
Hallo!
Habt ihr einen Tipp für mich? Irgendwie komm ich hier nicht weiter:

sei eine symmetrische, pos. definite Matrix mit dem größten EW , dem kleinsten EW .
Nun soll man den Spektralradius der Matrix berechnen, wobei und I_n die nxn Einheitsmatrix ist.

Ich mein der spektralradius ist ja der betrag des betragsmäßig größten EWs und H soll wohl die Hilbertmatrix sein.

aber wie kann man davon schlau die EW berechnen?
weil über den "normalen" weg ist das etwas komisch...:


Könnt ihr mir weiterhelfen?
das wär echt cool..

viele grüße
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ich blick nicht ganz durch, was bei dir auf wem aufbaut:

Erst gehst du von einer (nehme ich an) beliebigen symmetrischen Matrix aus, und bildest dann . Andererseits soll dieses dann diese sehr spezielle Hilbertmatrix-Struktur haben - das passt nicht zusammen!

Es sei denn, du gehst von aus und bildest dann umgekehrt daraus dein - dann wäre das verständlicher...
mathemaduenn Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spektralradius
Hallo kingskid,
Der Schlüssel ist wohl das positiv definite Matrizen orthogonal ähnlich zu einer Diagonalmatrix sind. Auf der Diagonalen stehen dann die Eigenwerte von A. Ich nehme nicht an das H die Hilbertmatrix sein soll. A wäre dann wohl auch nicht pos. definit.
viele Grüße
mathemaduenn
kingskid Auf diesen Beitrag antworten »

hallo!
vielen dank für eure tipps. ja dann macht das mit der hilbertmatrix wirklich keinen sinn, hat mich nur verwirrt, warum sie dann gerade H heißt, aber egal.

hm,was meinst du mit "orthogonal ähnlich" ? ist es das gleiche wie "orthogonal diagonalisierbar" ?
also dass es so eine zerlegung gibt:

?

mit

hmm... okay, aber wie kann ich dann auf die EW von H = I-wA schließen?

Hab obere Glg mal versucht nach A aufzulösen und einzusetzen:
H= I - w(Q * D * Q^t) ... aber damit komm ich irgendwie nicht weiter...
habt ihr noch ein tipp für mich?

kann man eigentlich sagen dass H invertierbar ist?
dann könnte man doch sagen, dass p(A)<1 ist für w=1, oder?
also wegen der Neumannschenreihe...?


viele grüße
kingskid
mathemaduenn Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo
Zitat:
Original von kingskid

hm,was meinst du mit "orthogonal ähnlich" ? ist es das gleiche wie "orthogonal diagonalisierbar" ?
also dass es so eine zerlegung gibt:


?

mit

Ja das meinte ich.
Zitat:
Original von kingskid
Hab obere Glg mal versucht nach A aufzulösen und einzusetzen:
H= I - w(Q * D * Q^t) ... aber damit komm ich irgendwie nicht weiter...
habt ihr noch ein tipp für mich?

kann man eigentlich sagen dass H invertierbar ist?
dann könnte man doch sagen, dass p(A)<1 ist für w=1, oder?
also wegen der Neumannschenreihe...?

Ohne weitere Voraussetzungen an das omega und die Eigenwerte kann man nicht sagen das H invertierbar sein muß.
Das mit dem Einsetzen sieht schon ganz gut aus da mußt Du "nur" noch ein bischen rumrechnen. Hilfreich ist sicher das man das omega beliebig verschieben kann und auch QQ^t=I.
Alternativ kann man auch einen EigenVektor von A in die Gleichung einsetzen und damit rumprobieren also
(I-wA)x=...
viele Grüße
mathemaduenn
kingskid Auf diesen Beitrag antworten »

hi mathemaduenn!

danke für deine antwort... hab versucht damit rumzurechnen:



ich mein das kann man schon verschieben, aber ich weiß nicht wie ich zu Q Q^t = I komm, weil das KG gilt ja nicht...

hab da sowieso noch ne frage, wenn ich hab und dann mit multipliziere, ist es dann oder ??

hab die alternativ-version auch mal versucht =) :



hmm.. aber ich weiß nicht nach was ich es weiter umformen soll traurig ??

viele grüße
 
 
mathemaduenn Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo kingskid,
Wenn das Kommutativgesetz nicht gilt muß man die Multiplikationsreihenfolge beachten also beim umformen von Gleichungen immer von links oder von rechts dranmultiplizieren und ist eben eine Eigenschaft von Ortogonalen Matrizen Das heiß nichts anderes als das die Inverse von Q Q^t ist.
- Von links mit multiplizieren


Genauso muß man beim "rausmultiplizieren aus einer Klammer die Reihenfolge beachten.
(A*B+A*C)=A*(B+C)

Für den 2. Ansatz brauchs Du eigentlich nur die Eigenwertgleichung
auszunutzen das x auch ein Eigenwert von I-omega Ax ist kann man also versuchen Die Gleichung so umzuformen das
I- gilt. gamma ist dann eine Eigenwert von (I-omega A)
viele grüße
mathemaduenn
kingskid Auf diesen Beitrag antworten »

hi mathemaduenn!
danke für deine erklärung, das mit der matrizenmulti von links bzw rechts hab ich nun verstanden!

aber du schreibst, dass wenn gilt, x auch EW von ist?
x ist doch ein vektor, oder?
oder meinst du ? aber warum würde das gelten?

und wenn ich annehme, dass EW von H ist, dann würde das doch so aussehen:



wie kommst du nochmal auf "I -" ?
brauch ich bei diesem weg die zerlegung mit Q dann gar nicht?

viele grüße & vielen dank für deine hilfe

kingskid
mathemaduenn Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo kingskid,
Das mit dem I- war ein Schreibfehler von mir.
Warum das geht ergibt sich aus der weiteren Rechnung.




Jetzt kannst Du in Abhängikeit von und angeben und erhälst so die Eigenwerte von H.
viele Grüße
mathemaduenn
kingskid Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Mathemaduenn,

hm, macht es aber sinn durch einen vektor zu "teilen" ?
oder wie kann ich das x auf beiden seiten loswerden?

ist ?

und dann muss ich einsetzen, damit ich den spektralradius bekomme? also ?

und dann soll ich noch herausfinden, für welchen wert von gilt : .

wenn das von oben richtig ist, ist es dann:



also für: ??

oder brauch ich da doch die neumannsche reihe?

und wie kann ich angeben für welchen wert am kleinsten wird? ist das dann für eingesetzt ??

viele grüße & vielen dank für deine hilfe!!

kingskid
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