Wurzel aus komplexer Zahl

28.10.2009, 21:42

Karl W.

Wurzel aus komplexer Zahl

Hallo,
wie kann ich die Wurzel aus $\begin{eqnarray*} 15-8i \end{eqnarray*}$ ziehen. Eigentlich muss man die Zahl ja in die trig. Form bringen. Da komme ich aber für das Argument nur auf krumme Werte.

28.10.2009, 23:38

mYthos

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Das macht doch nichts. Bei der Wurzel ist dann der halbe Winkel einzusetzen. Auch wenn das Argument selbst nicht "schön" ist, du musst ja davon wieder den sin bzw. cos bilden, und die könnten u.U. wieder "glatt" sein. Ich verrate dir, sie SIND es.

Rechne mal und zeige, wie weit du kommst.

Alternativer Weg: Die gesuchte Wurzel sei a + bi. Dann gilt - nach Quadrieren und Vergleich der Real- und Imaginärteile -

$\begin{eqnarray*} a^2 - b^2 = 15 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2ab = 8 \end{eqnarray*}$
----------------------------

Das nun nach a, b lösen (2 Lösungen, denn es gibt ja auch 2 Wurzeln).

mY+

29.10.2009, 16:06

Karl W.

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Also erst einmal bestimmt man ja den Winkel $\begin{eqnarray*} \phi = 2 \pi - artctan(-\frac 8 {15}) \end{eqnarray*}$ . Der Radius ist 17.

Da wäre ja eine Lösung: $\begin{eqnarray*} \sqrt {17} \cdot(cos(\frac {2\pi - arctan (-\frac 8 {15})}{2}) +i \cdot sin(\frac {2\pi - arctan (-\frac 8 {15})}{2} )) \end{eqnarray*}$

Aber irgendwie stimmen die Vorzeichen nciht.

29.10.2009, 16:13

Leopold

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Zitat:

Unterstellt, die Aufgabe hat eine schöne Lösung, also eine mit $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ , dann folgt aus der zweiten Gleichung

$\begin{eqnarray*} ab = 4 \end{eqnarray*}$

Da nun $\begin{eqnarray*} 4 \end{eqnarray*}$ nur die positiven Teiler $\begin{eqnarray*} 1,2,4 \end{eqnarray*}$ hat, gäbe es die folgenden sechs Möglichkeiten

$\begin{eqnarray*} a = \pm 1, b = \pm 4 \ \ \text{oder} \ \ a = \pm 4, b = \pm 1 \ \ \text{oder} \ \ a = \pm 2, b = \pm 2 \end{eqnarray*}$

Diese Möglichkeiten testet man jetzt mit der ersten Gleichung. Und schwuppdiwupp ... !

30.10.2009, 03:08

mYthos

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Es geht auch direkt, denn das System lässt sich ganz "normal" lösen:

$\begin{eqnarray*} b = \frac 4 a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^2 - \frac{16}{a^2} = 15 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^4 - 15a^2 - 16 = 0 \end{eqnarray*}$

quadr. Gleichung nach $\begin{eqnarray*} a^2 \end{eqnarray*}$ lösen:

$\begin{eqnarray*} a^2_1 = -1 \ , \ a^2_2 = 16 \end{eqnarray*}$

da a nur reell sein kann, folgt a = 4 oder a = -4, -> b

mY+

30.10.2009, 09:49

Mystic

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Tatsächlich gibt es für diese Aufgabe noch eine interessante "zahlentheoretisch angehauchte" Alternative, wenn man den begründeten Verdacht hat, dass "schöne" Lösungen existieren könnten (was ja bei Schulaufgaben häufig der Fall ist!)... Man muss dazu nur sehen, dass für

$\begin{eqnarray*} z=15-8i \end{eqnarray*}$

die Zahlen 15 und 8 die Kathetenlängen für ein rechtwinkeliges Dreieck mit ganzzahligen Seitenlängen sind... Genauer gilt

$\begin{eqnarray*} 15^2 +8^2 =17^2 \end{eqnarray*}$

Jetzt muss man nur noch die komplexen Zahlen $\begin{eqnarray*} x+iy \end{eqnarray*}$ mit ganzahligen $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ bestimmen, sodass gilt

$\begin{eqnarray*} x^2+y^2=17 \end{eqnarray*}$

Dafür gibt's in der algorithmischen Zahlentheorie einen Algorithmus, aber den braucht man hier wohl noch nicht... Unter diesen Zahlen $\begin{eqnarray*} x+iy \end{eqnarray*}$ befinden sich dann u.a. auch die Wurzeln von $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ , wobei man zu deren genauen Bestimmung einfach die weiteren Gleichungen

$\begin{eqnarray*} x^2-y^2=15, \quad 2xy=-8 \end{eqnarray*}$

noch dazunehmen sollte...

PS. Liebe Grüße an mYthos aus dem "hohen Norden"... Augenzwinkern

30.10.2009, 19:31

Karl W.

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Und wieso komme ich eigentlich mit der herkömmlichen Methode auf ein falsches Ergebnis?

30.10.2009, 20:41

Mystic

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Zitat:

Original von Karl W.
Also erst einmal bestimmt man ja den Winkel $\begin{eqnarray*} \phi = 2 \pi - artctan(-\frac 8 {15}) \end{eqnarray*}$ . Der Radius ist 17.

Da wäre ja eine Lösung: $\begin{eqnarray*} \sqrt {17} \cdot(cos(\frac {2\pi - arctan (-\frac 8 {15})}{2}) +i \cdot sin(\frac {2\pi - arctan (-\frac 8 {15})}{2} )) \end{eqnarray*}$

Aber irgendwie stimmen die Vorzeichen nciht.

In der Tat,

$\begin{eqnarray*} \pm\sqrt {17} (\cos (\frac {\arctan(8/15)}2)-i \sin (\frac{\arctan(8/15)}2)) \end{eqnarray*}$

sind die beiden Lösungen...

30.10.2009, 21:21

mYthos

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Setze die Winkel richig ein und multipliziere das noch mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{17} \end{eqnarray*}$ und siehe da ....

mY+

31.10.2009, 14:39

Karl W.

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Zitat:

Original von Mystic

Zitat:

In der Tat,

$\begin{eqnarray*} \pm\sqrt {17} (\cos (\frac {\arctan(8/15)}2)-i \sin (\frac{\arctan(8/15)}2)) \end{eqnarray*}$

sind die beiden Lösungen...

wieso ist da ein -zwischen cos und sin? In der Vorlesung hatten wir das mit +. Bleibt lso nur, das mein Winkel nicht stimmt.

31.10.2009, 15:08

Mystic

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Habe mir nach deiner höchst seltsamen Formel, nämlich

Zitat:

Original von Karl W.
$\begin{eqnarray*} \sqrt {17} \cdot(cos(\frac {2\pi - arctan (-\frac 8 {15})}{2}) +i \cdot sin(\frac {2\pi - arctan (-\frac 8 {15})}{2} )) \end{eqnarray*}$

schon gedacht, dass du ein Problem damit haben wirst, hatte aber gehofft, du kommst mit meiner Lösung noch selbst drauf, wie die Sache funktioniert...

Also, hier zunächst ein paar grundsätzliche Sachen: Es gibt in der Mathematik gerade Funktionen, wie z.B.

$\begin{eqnarray*} \cos x,\ \cosh x,\ x^4-5x^2+7 \text{ usw.} \end{eqnarray*}$

die auf einen Vorzeichenwechsel im Argument gar nicht reagieren, d.h., $\begin{eqnarray*} f(-x)=f(x) \end{eqnarray*}$ , und ungerade Funktionen, wie z.B.

$\begin{eqnarray*} \sin x,\ \sinh x,\ \arctan,\ x^3-5x \text{ usw.} \end{eqnarray*}$

die auf einen Vorzeichnenwechsel im Argument mit einem Vorzeichenwechsel reagieren, also $\begin{eqnarray*} f(-x)=-f(x) \end{eqnarray*}$ , und dann gibt's natürlich auch Funktionen, die weder gerade, noch ungerade sind, was in gewisser Weise sogar der Normalfall ist...

Die ursprüngliche Formel lautete

$\begin{eqnarray*} \pm \sqrt 17 \left( \cos \frac {\arctan(-8/15)}2+ i \sin \frac {\arctan (-8/15)}2 \right) \end{eqnarray*}$

Um also auf meine Formel zu kommen, musst du dir jetzt nur noch überlegen, wie die zusammengesetzten Funktionen

$\begin{eqnarray*} \cos \frac {\arctan x} 2 \text{ bzw. } \sin \frac {\arctan x} 2 \end{eqnarray*}$

auf einen Vorzeichenwechsel im Argument reagieren...

31.10.2009, 18:32

Karl W.

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also der 2. Teil ist scheinbar genau um 180° Phasenverschoben. Das gleicht das Minus aus. In der Vorlesung haben wir aber meist schon die Verschiebung so mit eingerechnet:

$\begin{eqnarray*} x \neq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \phi_a=\frac y x \end{eqnarray*}$

1. Quadrant:
$\begin{eqnarray*} \phi=\phi_a \end{eqnarray*}$
2.Quadrant:
$\begin{eqnarray*} \phi=\pi-\phi_a \end{eqnarray*}$
3. Quadrant:
$\begin{eqnarray*} \phi=\pi+\phi_a \end{eqnarray*}$
4.Quadrant:
$\begin{eqnarray*} \phi=2\pi - \phi_a \end{eqnarray*}$

Und die komplexe Zahl befindet sich ja im 4. Quadranten. Deshalb ist mir noch unklar. Wieso das mit dem Vorzeichen nicht passt.

01.11.2009, 09:28

Mystic

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Zitat:

Original von Karl W.
also der 2. Teil ist scheinbar genau um 180° Phasenverschoben. Das gleicht das Minus aus. In der Vorlesung haben wir aber meist schon die Verschiebung so mit eingerechnet:

$\begin{eqnarray*} x \neq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \phi_a=\frac y x \end{eqnarray*}$ Richtig: $\begin{eqnarray*} \phi_a =\arctan |y/x| !!! \end{eqnarray*}$

1. Quadrant:
$\begin{eqnarray*} \phi=\phi_a \end{eqnarray*}$
2.Quadrant:
$\begin{eqnarray*} \phi=\pi-\phi_a \end{eqnarray*}$
3. Quadrant:
$\begin{eqnarray*} \phi=\pi+\phi_a \end{eqnarray*}$
4.Quadrant:
$\begin{eqnarray*} \phi=2\pi - \phi_a \end{eqnarray*}$

Und die komplexe Zahl befindet sich ja im 4. Quadranten. Deshalb ist mir noch unklar. Wieso das mit dem Vorzeichen nicht passt.

Das mit dem Quadranten hast entweder falsch abgeschrieben oder der Vortagende hat sich da vergaloppiert... Ich hab dir oben die Formel richtig ausgebessert...

Wenn du partout mit deinem Phasenwinkel rechnen willst (warum weiß ich zwar nicht, aber bitte soll sein!), dann würde deine Formel also dann so aussehen...

$\begin{eqnarray*} \pm \sqrt {17} \cdot(\cos(\frac {2\pi - arctan (\frac 8 {15})}{2}) +i \cdot \sin(\frac {2\pi - arctan (\frac 8 {15})}{2} )) \end{eqnarray*}$

01.11.2009, 10:53

Leopold

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$\begin{eqnarray*} \cos \frac{2 \pi - \arctan \frac{8}{15}}{2} = \cos \left( \pi - \frac{1}{2} \arctan \frac{8}{15} \right) = - \cos \left( \frac{1}{2} \arctan \frac{8}{15} \right) \end{eqnarray*}$

Und jetzt geht es weiter mit $\begin{eqnarray*} \cos \left( \frac{1}{2} x \right) = \sqrt{\frac{1}{2} \left( 1 + \cos x \right)} \end{eqnarray*}$ . Man erhält:

$\begin{eqnarray*} = - \sqrt{\frac{1}{2} \left( 1 + \cos \left( \arctan \frac{8}{15} \right) \right)} \end{eqnarray*}$

Und mit $\begin{eqnarray*} \cos x = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 x}} \end{eqnarray*}$ folgt daraus:

$\begin{eqnarray*} = - \sqrt{\frac{1}{2} \left( 1 + \frac{1}{\sqrt{1 + \left( \frac{8}{15} \right)^2}} \right)} = - \sqrt{\frac{1}{2} \left( 1 + \frac{15}{17} \right)} = - \sqrt{\frac{16}{17}} = - \frac{4}{\sqrt{17}} \end{eqnarray*}$

Und nach Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} \pm \sqrt{17} \end{eqnarray*}$ wird daraus $\begin{eqnarray*} \mp 4 \end{eqnarray*}$ .

Aber das wußten wir schon vorher. Nicht wahr?

01.11.2009, 12:01

Karl W.

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Das ich wissen wollte wo mein Fehler lag liegt nicht daran, dass ich immer den komplizierten weg gehen will. Ich wollte halt nur wissen, was ich falsch geacht habe.

Zitat:

Original von mYthos
Alternativer Weg: Die gesuchte Wurzel sei a + bi. Dann gilt - nach Quadrieren und Vergleich der Real- und Imaginärteile -

$\begin{eqnarray*} a^2 - b^2 = 15 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2ab = 8 \end{eqnarray*}$
----------------------------

Das nun nach a, b lösen (2 Lösungen, denn es gibt ja auch 2 Wurzeln).

mY+

Geht das mit allen komplexen Zahlen?

01.11.2009, 14:34

mYthos

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Wenn die Quadratwurzel zu bestimmen ist, ja.

mY+

01.11.2009, 15:15

Karl W.

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Und wie leitet sich diese Formel her? Den linken Teil von der ersten Formel verstehe ich noch. Aber wieso ist das ganze gleich dem Realteil?

Die 2. Verstehe ich gar nicht.

01.11.2009, 15:54

mYthos

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Wenn du $\begin{eqnarray*} a + bi \end{eqnarray*}$ quadrierst, ist der Realteil der entstehenden komplexen Zahl $\begin{eqnarray*} a^2 - b^2 \end{eqnarray*}$ und deren Imaginärteil $\begin{eqnarray*} 2ab \end{eqnarray*}$ . Oder?

Und nun vergleichen wir diese komponentenweise mit denen der gegebenen Quadratzahl $\begin{eqnarray*} 15 - 8i \end{eqnarray*}$ .

mY+

01.11.2009, 16:17

Karl W.

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ok. danke jetzt hab ich verstanden, was du meinst. Danke! Da fragt man sich wieso in der Vorlesung immer der extrem kompliziertere Weg gegangen wurde.

01.11.2009, 16:26

Leopold

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Und wenn du das einmal allgemein rechnest, kommst du auf die folgende Formel.

01.11.2009, 16:28

Karl W.

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Ok gibt es eigentlich auch einen Weg schnell zu Potenzieren, außer wieder über die trigeometrische Form?

01.11.2009, 16:35

Leopold

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Das kommt auf die Aufgabe an! Beispiel parat?

01.11.2009, 16:52

Karl W.

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Bitte: $\begin{eqnarray*} (3i - \sqrt 3)^4 \end{eqnarray*}$

01.11.2009, 17:20

mYthos

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Am schnellsten (und auch effizientesten) - vor allem bei höheren Potenzen - geht das über die Exponentialschreibweise (das Winkelargument ist hier $\begin{eqnarray*} \frac{5 \pi} 6 \end{eqnarray*}$ *). Gut geht allerdings (hier) auch noch einfach das algebraische Quadrieren (zweimal binomische Formel).

mY+

EDIT:
Irrtum, $\begin{eqnarray*} \frac {2 \pi} 3 \end{eqnarray*}$ ist richtig

01.11.2009, 17:27

Karl W.

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Aber dazu muss ich ja trotzdem das Argument bestimmen oder? Und dann wieder in die Trigonometrische From umformen.

01.11.2009, 17:40

mYthos

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Na und? Daran wirst du auf die Dauer ohnehin nicht vorbeikommen. Wie willst du denn sonst

$\begin{eqnarray*} (7 - 24i)^{8} \ \text{oder} \ (2 + 5i)^{\sqrt3} \end{eqnarray*}$

ökonomisch berechnen? Dein Beispiel mit der 4. Potenz kannst du ausserdem ohnehin mittes Quadrieren rechnen.

mY+

01.11.2009, 18:55

Karl W.

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Zitat:

Original von mYthos
Am schnellsten (und auch effizientesten) - vor allem bei höheren Potenzen - geht das über die Exponentialschreibweise (das Winkelargument ist hier $\begin{eqnarray*} \frac{5 \pi} 6 \end{eqnarray*}$ ). Gut geht allerdings (hier) auch noch einfach das algebraische Quadrieren (zweimal binomische Formel).

mY+

Ich komme für das Argument auf $\begin{eqnarray*} \pi - arctan(\frac 3 {\sqrt 3})=\frac 2 3 \pi \end{eqnarray*}$ was mache ich da falsch?

01.11.2009, 19:43

Karl W.

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und mal eine andere Frage kann ich nicht einfach darüber potenzieren:
$\begin{eqnarray*} e^z = e^{x+\mathrm{i}y} = e^x \cdot e^{\mathrm{i}y} = e^x \cdot \left(\cos\left( y \right) + \mathrm{i}\,\sin\left( y \right)\right) \end{eqnarray*}$ da bracuhe ich ja gar keinen Winkel.

02.11.2009, 03:30

mYthos

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Zitat:

Original von Karl W.
...
Ich komme für das Argument auf $\begin{eqnarray*} \pi - arctan(\frac 3 {\sqrt 3})=\frac 2 3 \pi \end{eqnarray*}$ was mache ich da falsch?

Nix, du hast Recht, war mein Irrtum; ich habe den Fehler editiert.

02.11.2009, 17:00

Karl W.

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Ok also mache ich das jetzt am besten über die Formel:

$\begin{eqnarray*} e^{\mathrm{i}\,\varphi} = \cos\left(\varphi \right) + \mathrm{i}\,\sin\left( \varphi\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{\mathrm{2\cdot i}\,\varphi} = \cos\left(2 \cdot \varphi \right) + \mathrm{i}\,\sin\left(2 \cdot \varphi\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{\mathrm{i}\,\frac 4 {3 \pi}} = \cos\left(\frac 4 {3 \pi} \right) + \mathrm{i}\,\sin\left(\frac 4 {3 \pi}\right) \end{eqnarray*}$

Geht es nun auch darüber, ohne Winkel:
$\begin{eqnarray*} e^z = e^{x+\mathrm{i}y} = e^x \cdot e^{\mathrm{i}y} = e^x \cdot \left(\cos\left( y \right) + \mathrm{i}\,\sin\left( y \right)\right) \end{eqnarray*}$

_______________________________________

Den Betrag habe ich noch vergessen da vorzuschreiben.

02.11.2009, 18:15

Karl W.

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ok ich lag anscheinend falsch. man Muss nur den Betrag Potenzieren.. Aber wieso ist das so?

02.11.2009, 18:20

mYthos

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Irgendwie verstehe ich nicht, was du meinst mit "ohne Winkel". In deiner letzten Zeile ist ja y der Winkel. Wie willst du sonst damit z.B. rechnen

$\begin{eqnarray*} (7 - 24i)^8 \end{eqnarray*}$ ?

Du kannst es ja mal vorführen.

mY+

02.11.2009, 18:26

Karl W.

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Ok das geht wirklich nicht ich hab beim letzten auch einen Fehler gemacht, man muss ja Länge und dss Argument potenzieren. Dann komme ich auch aufs richtige Ergebnis. Ist nur Fraglich, wie man die ganzen Winkelfunktionswerte im Kopf berechnen will ohne Taschenrechner.

02.11.2009, 20:38

mYthos

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Die Winkel kann man nur für spezielle Werte im Kopf haben, ansonsten ist das Unsinn, wer hat denn das gesagt? In allen anderen Fällen ist ein TR unerläßlich oder man potenziert eben das Binom mühsamer algebraisch, soferne der Exponent eine natürliche Zahl ist. Ich würde sagen, bis zur 4. Potenz bei Binomen geht das recht gut und eben auch noch die Quadratwurzel. Rein imaginäre Zahlen lassen sich gut auch beliebig hoch potenzieren, denn es gilt ja (für ganzzahlige k, n)

$\begin{eqnarray*} i^{4k + n} = i^n \end{eqnarray*}$

D.h. man braucht n nur von 0, 1, 2, 3 zu zählen und diese Potenzen sollte man "im Kopf haben".

mY+

02.11.2009, 21:16

Karl W.

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Naja also in der Klausur ist kein Taschenrechner zugelassen. Und das waren Aufgaben aus unserem Aufgabenheft aber vlt. sind die Werte dann in der Klausur so angepasst, dass es im Kopf geht.

10.11.2009, 13:55

Michael 18

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Zitat:

Original von mYthos

quadr. Gleichung nach $\begin{eqnarray*} a^2 \end{eqnarray*}$ lösen:

$\begin{eqnarray*} a^2_1 = -1 \ , \ a^2_2 = 16 \end{eqnarray*}$

da a nur reell sein kann, folgt a = 4 oder a = -4, -> b

mY+

Wie löse ich so etwas ? Das a t ja hoch 4....

10.11.2009, 16:40

mYthos

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Setze halt $\begin{eqnarray*} a^2 = u \end{eqnarray*}$ (Substitution), dann ist die Gleichung eben quadratisch in u.

mY+

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Wurzel aus komplexer Zahl

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