Umformen

28.10.2009, 21:46

RS

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Umformen

soll nachfolgendes durch definitionen und umformung zeigen.
X,Y Mengen. f Abb. von X nach Y. U,V Teilmengen von X.

$\begin{eqnarray*} f(U \cap V ) \subseteq f(U) \cap (V ). \end{eqnarray*}$

Also ich habs wie folgt gemacht (nur das Teilmengensymbol verwirrt mich...)

$\begin{eqnarray*} U\cap V=\{x\in U\wedge x\in V\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(U \cap V )<br /> <br /> =f(x\in U \wedge x\in V)<br /> =f(x\in U)\cap f(x\in V)<br /> =f(U)\cap f(V)<br /> \end{eqnarray*}$

Is des korrekt so? und was ist jetzt mit der teilmengensymbolik?

28.10.2009, 22:20

jester.

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Das ist nicht richtig. Ausdrücke wie $\begin{eqnarray*} f(x\in U ~\wedge ~ x\in V) \end{eqnarray*}$ machen überhaupt keinen Sinn.

Um eine Teilmengenbeziehung $\begin{eqnarray*} A\subseteq B \end{eqnarray*}$ zu zeigen, musst du zeigen $\begin{eqnarray*} x\in A \Rightarrow x\in B \end{eqnarray*}$ .

28.10.2009, 22:23

RS

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hm wie form ich das obige dann um? ich war der festen überzeugung auf dem richtigen weg zu sein^^...

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f(U \cap V ) \subseteq f(U) \cap (V ). \end{eqnarray*}$

Also ich habs wie folgt gemacht (nur das Teilmengensymbol verwirrt mich...)

$\begin{eqnarray*} U\cap V=\{x|x\in U\wedge x\in V\} \end{eqnarray*}$

Ist das erstmal richtig und vor allem hilft das mir weiter?

29.10.2009, 08:28

jester.

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Das ist zwar die Definition, die du benötigst, aber so ganz auf dem richtigen Weg bist du noch nicht. Fang so an:

$\begin{eqnarray*} x\in f(U\cap V) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f^{-1}(\{x\})\in U \cap V \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow ... \end{eqnarray*}$

Verwende nun die Definition des Durchschnitts, um weiterzumachen.

29.10.2009, 08:39

kiste

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Zitat:

Original von jester.
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f^{-1}(\{x\})\in U \cap V \end{eqnarray*}$

Das kann man so nicht ganz stehen lassen. f^{-1}(x) ist unter Umständen nunmal nicht nur ein Element sondern eine Menge von mehreren Elementen.

29.10.2009, 09:11

RS

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hm wie ginge es denn weiter wenns ne menge ist? so?

$\begin{eqnarray*} f(U\cap V) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x\in f(U\cap V) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f^{-1}(\{x\})\subseteq U \cap V \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f^{-1}(\{x\})\subseteq U\wedge f^{-1}(\{x\})\subseteq V \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x\in f(U) \wedge x\in f(V) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(U) \cap f(V) \end{eqnarray*}$

So jetzt richtig?

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29.10.2009, 09:21

klarsoweit

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RE: Umformen

Zitat:

Original von RS
soll nachfolgendes durch definitionen und umformung zeigen.
X,Y Mengen. f Abb. von X nach Y. U,V Teilmengen von X.

$\begin{eqnarray*} f(U \cap V ) \subseteq f(U) \cap (V ). \end{eqnarray*}$

Kann es sein, daß folgendes gemeint ist:

$\begin{eqnarray*} f(U \cap V ) \subseteq f(U) \cap f(V) \end{eqnarray*}$ ?

Der Beweisanfang von jester ist ungeschickt. Besser ist:

Sei $\begin{eqnarray*} x \in (U \cap V ) \end{eqnarray*}$ . Dann ist f(x) Element von ... .

29.10.2009, 09:25

jester.

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@kiste: Ja, stimmt. Hatte ich gar nicht bedacht. unglücklich

unglücklich

@klarsoweit: Der Anfang ist wirklich besser. Freude

Freude

29.10.2009, 09:46

RS

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Also dann,

$\begin{eqnarray*} f(U\cap V) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Sei} ~x\in (U\cap V) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(x)\in f(U \cap V) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(x)\in f(U)\wedge f(x)\in (V) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(x)\in f(U) \cap f(V) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(U) \cap f(V) \end{eqnarray*}$

?

29.10.2009, 09:57

jester.

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Fast geschafft! Nur $\begin{eqnarray*} f(x)\in(V) \end{eqnarray*}$ ist nicht sinnvoll, da wird wohl $\begin{eqnarray*} f(x)\in f(V) \end{eqnarray*}$ gemeint sein, wie Kiste auch schon meinte.

Und in deinem letzten Schritt steht keine Aussage mehr, sondern nur noch eine Menge.

29.10.2009, 10:06

RS

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Ja sry hatte das vorige schema nur geändert und das f vergessen...

$\begin{eqnarray*} f(U\cap V) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Sei} ~x\in (U\cap V) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(x)\in f(U \cap V) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(x)\in f(U)\wedge f(x)\in f(V) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(x)\in f(U) \cap f(V) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =f(U) \cap f(V) \end{eqnarray*}$

So oder wie?

29.10.2009, 10:17

jester.

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Noch was anderes: Der Schritt
$\begin{eqnarray*} f(x)\in f(U\cap V) \Rightarrow f(x)\in f(U) ~\wedge ~ f(x)\in f(V) \end{eqnarray*}$
ist eigentlich nicht in Ordnung.

Du solltest direkt am Anfang so aufteilen: $\begin{eqnarray*} x\in U\cap V \Rightarrow x\in U ~\wedge ~x\in V \end{eqnarray*}$ .

Was das Ende angeht: Da steht ja $\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(x)\in f(U)\cap f(V) \end{eqnarray*}$ und das ist ja schon das, was du zeigen sollst.
$\begin{eqnarray*} =f(U)\cap f(V) \end{eqnarray*}$ mach irgendwie auch nur bedingt Sinn an der Stelle. Mach dir den Unterschied zwischen Mengen und Aussagen klar.

29.10.2009, 10:24

RS

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Ja is mir schon klar, dass das "=" zwischen den aussagen und der letztendlichen menge keinen sinn macht, aber ich muss ja irgendwie noch bezug auf die rechte seite der Mengengleichung nehmen.

Wie wärs denn damit:

$\begin{eqnarray*} f(U\cap V) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Sei} ~x\in (U\cap V) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x\in U \wedge x\in V \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(x)\in f(U)\wedge f(x)\in f(V) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(x)\in f(U) \cap f(V) \end{eqnarray*}$

Damit ist gezeigt, dass

$\begin{eqnarray*} f(U\cap V)\subseteq f(U) \cap f(V) \end{eqnarray*}$

29.10.2009, 10:59

jester.

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So sollte es in Ordnung sein.

29.10.2009, 11:17

klarsoweit

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Zitat:

Original von RS
$\begin{eqnarray*} f(U\cap V) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Sei} ~x\in (U\cap V) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x\in U \wedge x\in V \end{eqnarray*}$

Noch ein Verbesserungsvorschlag:

Die erste Zeile ersatzlos streichen (was will man damit sagen?). Dann:

$\begin{eqnarray*} \text{Sei} ~x\in (U\cap V) \end{eqnarray*}$

Dann ist einerseits: $\begin{eqnarray*} f(x) \in f(U\cap V) \end{eqnarray*}$

Andererseits gilt auch: $\begin{eqnarray*} x\in U \wedge x\in V \end{eqnarray*}$ usw.

29.10.2009, 14:09

RS

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Danke!

Freude

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