Beschreibung einer Menge (war: Ich verstehe nur Bahnhof :-D)

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Physinetz Auf diesen Beitrag antworten »
Beschreibung einer Menge (war: Ich verstehe nur Bahnhof :-D)
Hallo, könnte mir mal jmd. diese Fachsprache in etwas verständliches umschreiben:


Sei M(d,k) die Menge der k-Tupel mit maximaler Komponentensumme d gegeben durch



Bevor ich mit der Aufgabe fortfahren kann, sollte ich erstmal wissen was dass so bedeutet?

Vielleicht kann mir da jmd. helfen die Sachen einzeln zu "übersetzen" was das alles heißt...

Dankeschön Gott
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist die Menge aller Tupel , für die zusätzlich gilt, dass die Summe aller Einträge höchstens ist.

So ist zB .
Physinetz Auf diesen Beitrag antworten »

Puh da mach ich mich wohl doch nochmal schlau was eine Tupel ist...

Also was ich glaub ich weiß es heißt soviel wie:

Menge Abhängig von d und k = .... für die gilt die Summe mit laufindex 1 bis k von dl ist kleiner gleich d)


Also das mit Tupel versteh ich noch nicht, das was bei ..... fehlt noch nicht und eben ja das was das Aussagen soll....

Ich versuch weiterhin mein bestes....
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Die Tupel hier sind definiert als (Beispiel die 2-Tupel) Elemente der Menge . Vielleicht hilft dir das ja, ansonsten musst du mal bei Wikipedia oder in einem Buch nachschlagen.
Physinetz Auf diesen Beitrag antworten »

Was ich nicht verstehe:

1) K-Tupel : Angenommen ich habe eine k=8 8-Tupel , was heißt dass, setze ich k=8 laufen die "d's" : d_1,d_2,...d_8 also bis d_8 , warum ist das eine 8 Tupel, weil sie nur so zusammengehören in dieser reihenfolge? Tupel verstehe ich hier nicht...

2) Hätte ich eine 8-Tupel , dann ginge es wie gesagt bis d_8 und ich würde dann alle aufsummieren und der Wert wäre kleiner als d ?

3) Also d_1,d_2 etc. kann man schon als Werte betrachten die dann aufsummiert einem Wert kleiner bzw. gleich d ergeben?

4) M(d,k) , was bedeutet das? Die Menge mit den Elementen d,k ? Oder dass die Menge abhängig von d,k ist?


Soweit erstmal
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
was bedetet das hier für die Aufgabe, dann wenn ich d_1 bis d_k aufsummiere es kleiner als d ist?


Ja, alle k-Tupel deren Komponentensumme kleiner als d ist werden in die Menge aufgenommen. k und d kommen durch das M(d,k) , sind also allgemein definiert. Dabei ist k wohl eine beliebige natürliche Zahl und d eine beliebige reelle Zahl größer null.

edit:

Du kannst es dir so vorstellen das Du eine Funktion hast die einem 2-Tupel (k,d) eine Menge zuordnet.
 
 
Physinetz Auf diesen Beitrag antworten »

Hatte gerade meinen Beitrag geändert als du geschrieben hattest, sry ^^

Was ich nicht verstehe:

1) K-Tupel : Angenommen ich habe eine k=8 8-Tupel , was heißt dass, setze ich k=8 laufen die "d's" : d_1,d_2,...d_8 also bis d_8 , warum ist das eine 8 Tupel, weil sie nur so zusammengehören in dieser reihenfolge? Tupel verstehe ich hier nicht...

2) Hätte ich eine 8-Tupel , dann ginge es wie gesagt bis d_8 und ich würde dann alle aufsummieren und der Wert wäre kleiner als d ?

3) Also d_1,d_2 etc. kann man schon als Werte betrachten die dann aufsummiert einem Wert kleiner bzw. gleich d ergeben?

4) M(d,k) , was bedeutet das? Die Menge mit den Elementen d,k ? Oder dass die Menge abhängig von d,k ist?


Soweit erstmal
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Eine k-Tupel ist ein geordnete Aufzählung von k Elementen.

Beispiele :

3-Tupel über den natürlichen Zahlen



5-Tupel über den reellen Zahlen



Das besondere an k-Tupeln ist das sie geordnet sind, das heisst .

Zitat:
2) Hätte ich eine 8-Tupel , dann ginge es wie gesagt bis d_8 und ich würde dann alle aufsummieren und der Wert wäre kleiner als d ?


Wäre k = 8, hätten wir also 8-Tupel entsprechend 8 Summanden (bis d8 wie Du es formulierst). Und wenn die Summe der 8 Einträge kleinergleich d ist, dann gehört dieses Tupel zur Menge.

Zitat:
3) Also d_1,d_2 etc. kann man schon als Werte betrachten die dann aufsummiert einem Wert kleiner bzw. gleich d ergeben?


Ja das ist richtig, aber Du solltest hier die Kausalität beachten. Nicht alle Werte aufsummiert sind kleiner als d. Wenn die Werte aufsummiert kleinergleich d sind dann gehört das Tupel zur Menge.

Zitat:
4) M(d,k) , was bedeutet das? Die Menge mit den Elementen d,k ? Oder dass die Menge abhängig von d,k ist?


Das ist einfach eine Funktionsvorschrift wenn Du so willst. f(x) kennst Du doch. Mit f(x,y) kannst Du auch noch was anfangen. Wieso ist dann M(k,d) ein Problem? Hier ist f halt ein M. Wie man eine Funktion nennt ist doch egal.
Physinetz Auf diesen Beitrag antworten »

Ok also ein bisschen besser habe ich es glaub ich verstanden, ja nun zur Aufgabe ^^

Sei M(d,k) die Menge der k-Tupel mit maximaler Komponentensumme d gegeben durch



Zeigen Sie, dass die Anzahl der Elemente von M(d,k) - geschrieben als berechnet werden kann durch


Hier erstmal ein dickes Puuuh

Jetzt sind ein paar Hilfen gegeben:

1) Zeigen Sie, dass gilt:


Dies ist also der Induktionsanfang für k=1 , richtig?


Um das zu zeigen hätte ich jetzt gedacht, dass man jetzt einfach oben beim Summenzeichen für k=1 einsetzt , dann bekomme ich da raus:

Aber sonst ist ja:

Links habe ich d_1 rechts d+1 ... iwie was falsch?


Die Aufgabe geht natürlich weiter, aber lieber in kleinen schritten...
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Bevor wir weiter machen, d ist dann auch eine natürliche Zahl oder? Ansonsten macht der Binomialkoeffizient erstmal keinen Sinn (auch wenns den glaub ich sogar für reelle Werte gibt).
Physinetz Auf diesen Beitrag antworten »

ich denke schon ja, mehr stand leider nicht dabei...das ist alles, die aufgabe geht nur unten weiter, aber da steht nicht was d sein soll
Physinetz Auf diesen Beitrag antworten »

Weiß jemand weiter?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst dir lediglich überlegen wie man nicht über 1 kommt. Da wir nur natürliche Zahlen haben darf auf keinen Fall eine Zahl größer gleich 2 vorkommen.
Wir haben also nur 0 und 1 zur Verfügung.
Wie oft dürfen wir diese jeweils benutzen?
Physinetz Auf diesen Beitrag antworten »

1)
Zitat:
Original von kiste
Du musst dir lediglich überlegen wie man nicht über 1 kommt. Da wir nur natürliche Zahlen haben darf auf keinen Fall eine Zahl größer gleich 2 vorkommen.


Wieso denn nicht über 1? d ist doch hier unbestimmt, ich setzte ja nur für k=1 ein, dann steht da:

2)
Zitat:
Original von kiste
Wir haben also nur 0 und 1 zur Verfügung.

Weil d_1 , bzw. d_k eben nur Werte der natürlichen Zahlen annehmen dürfen...?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Oops habs falsch rum gesehen Augenzwinkern
Jetzt weißt du wenigstens |M(k,1)| = k+1 Augenzwinkern

Dann eben andersrum:
Wir haben nur eine Variable d_1 <= d.
Welche Werte darf d_1 also annehmen?
Wieviele sind das also?
Physinetz Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wir haben nur eine Variable d_1 <= d. Welche Werte darf d_1 also annehmen?


d_1 darf entweder = d sein oder kleiner als d , da hätte ich ja unendlich viele werte


Wäre der Wert d gegeben als 1, dann dürfte d_1 ja 0 und 1 sein ?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das sind nicht unendlich viele Werte.
d_1 darf doch nur natürlich sein, also 0 1 2 .... d
Physinetz Auf diesen Beitrag antworten »

aaaaah jetzt, stimmt ! da ist ja noch das k bei dem Zeichen für natürliche Zahlen, also habe ich für k=1 2 Möglichkeiten, ok verstanden.


Doch Wie zeige ich das mathematisch korrekt=

Also bei der Aufgabe, das ist ja der Induktionsanfang für k=1 , für die rechte Seite bekomme ich dann raus : d+1

Nur was steht auf der linken Seite? Wie schreibt man das auf? Da müsste ja dann auch d+1 rauskommen?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Was willst du da noch hören? Ich hab dir doch im Prinzip den Induktionsanfang schon hingeschrieben.
Die Zahlen 0,1,...,d sind die einzigen natürlichen Zahlen die kleiner gleich d sind. Das sind gerade d+1 Stück
Physinetz Auf diesen Beitrag antworten »

Habe Geduld mit mir :-D

Du sagst das sind genau d+1 Stück, aber im Prinzip sind es ja für k=1 immer höchstens nur 2 Zahlen: Die Null und die 1

Angenommen ich habe d=5 , dann habe ich ja trotdem nur für k=1 die Null und die 1 und nicht d+1=6 Mögliche Zahlen
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Nein das mit der 0 und der 1 war vorhin etwas anderes, da dachte ich wir haben k Summanden die maximal 1 ergeben dürfen.

Jetzt haben wir aber nur einen Summanden und zwar d_1 und dieser darf höchstens d sein.
Also für d=3 sind möglich:
0 <= 3
1 <= 3
2 <= 3
3 <= 3
also genau 4 = d+1 Stück
Physinetz Auf diesen Beitrag antworten »

Angenommen jetzt sei k=2 dann gibt es ja jetzt d_1 und d_2 , deren Summe bei sei d=3 kleiner/gleich 3 sein soll.

Laut Aussage habe ich dann 3+2 Elemente, wie kommen diese dann zustande?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(3,0),(2,0),(1,0),(1,1),(1,2),(2,1)
Sind also 10 Stück!
Und siehe da, 5 über 3 ist gerade 5*4/2*1 = 10
Physinetz Auf diesen Beitrag antworten »

@ Kiste: Erstmal ein super Dankeschön dass du mich hier so unterstützt. Das ist einfach für mich absolutes Neuland eine Induktion mit so einer Menge. Also echt top dass du dir die Zeit nimmst und hier immer fleißig schreibst. Du musst ja total verzweifeln mit mir ^^

Nur wie bringe ich das zu Blatt?

Zeigen Sie, dass gilt:

Für k=1 gibt es 0,...d = d+1 Elemente.

Kann ich das so schreiben? Ich weiß einfach nicht wie man die linke Seite schreibt
Physinetz Auf diesen Beitrag antworten »

kiste oder anybody else: bitte helfen Freude
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz ruhig, Samstags Abends kann es vorkommen dass ich mal nicht da bin Forum Kloppe
(und Sonntags morgens muss ich ausschlafen Big Laugh )

Zitat:

Die Zahlen 0,1,...,d sind die einzigen natürlichen Zahlen die kleiner gleich d sind. Das sind gerade d+1 Stück

Das beantwortet deine Frage noch nicht?!
Dobre Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich wurde ja die Teilaufgabe hier ja gelöst, den Ansatz habt ihr ja.
|M(d,1)| ist (d+1), weil man nur keine Kombinationsmöglichkeit hat da k=1 ist.
Das heißt d=4 wäre dann die Menge 0,1,2,3,4 also d+1.

Auf der linken Seite steht, (d+1 über d), das ist im Grunde das selbe wie (d+1 über 1) oder? Wobei d ungleich 1 ist, stimmts?

Und (d+1 über 1) = d+1
also haben wir auf beiden Seiten d+1=d+1 stehen, somit bewiesen.
Ich hoffe es ist richtig. Die Aufg. hat noch 2 Teilaufg. smile
Dobre Auf diesen Beitrag antworten »

http://www.onlinemathe.de/images/fragenbilder/images/8dfcbdbe748289b5f64b1da5428e6c6a.jpg

Ich hab soviel bis dato lösen können.
|M(d,k+1)| ist in der bionominalkoeffizienten Schreibweise so formulierbar:
|M(d,k+1)| = (d+(k+1) über d) = d+k+1 über d)
Kann ich hier für das |M(d,k+1)| = (d+(k+1) über d) auch für das d unten eine 1 einsetzen?
Dann wäre meine Lösung auf der linken Seite:
(d+k+1)

Rechts ist ein weniger komplizierter:
Der Laufindex beginnt bei 0 und läuft bis d.
Also subtrahiere ich immer d- l stimmts?
zB.: d-0?
Soweit so gut, aber wie bringe ich die rechte Seite auf den selben Ausdruck wie linke, weiß das jemand?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Viel zu kompliziert. Es wurde einfach gewählt und eben über alle Möglichkeiten so zu wählen summiert.
Physinetz Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dobre

Kann ich hier für das |M(d,k+1)| = (d+(k+1) über d) auch für das d unten eine 1 einsetzen?
Dann wäre meine Lösung auf der linken Seite:
(d+k+1)



Wieso willst du da unten einfach 1 einsetzen [dürfen] ? Du meinst du setzt d=1 hier:

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