Untersuchen Sie, für welche c € R die Menge ein Untervektorraum von R³ ist

28.10.2009, 23:47

Matheversteher

Untersuchen Sie, für welche c € R die Menge ein Untervektorraum von R³ ist

Guten Abend liebe Matheboard-Nachteulen. Sitze nun seit geraumer Zeit an einer Aufgabe (Im Anhang angefügt).

Wenn ich es richtig verstehe/sehe handelt es sich bei dem Term $\begin{eqnarray*} x1+x2+x3=c \end{eqnarray*}$ um einen Raum, in welchem demetsprechend alle $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x1+x2+x3 \end{eqnarray*}$ definiert sind. Mein erster gedanke war es mit den Untervektorraum-Kriterien zu hantieren. Dies ist meines erachtens aber nicht mehr nötig, da dieser Raum bereits in der Aufgabenstellung als Untervektorraum definiert ist. Ich muss also nur noch die Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ angeben.

Da nun zwischen Studium und Schule ein Jahr liegt, in dem ich mich gar nicht mit Mathe beschäftigt habe, sehe ich wahrscheinlich nicht wie einfach diese Aufgabe evtl. ist. Kann mir jmd vllt einen Hinweis geben wie ich meine Lösungsmenge ein wenig füllen kann? Heute Nacht werde ich allerdings nicht mehr zurückschreiben, da ich jetzt schon müde bin. Werde mich also erst morgen früh wieder hier blicken lassen.

29.10.2009, 00:01

Reksilat

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RE: Untersuchen Sie, für welche c € R die Menge ein Untervektorraum von R³ ist
Hi matheversteher,

Zitat:

Wenn ich es richtig verstehe/sehe handelt es sich bei dem Term $\begin{eqnarray*} x1+x2+x3=c \end{eqnarray*}$ um einen Raum

Das ist falsch! Ein Raum ist eine Menge. Das was Du dort hast, ist ein Gleichung, eine Aussage, aber kein Term.

Zitat:

Dies ist meines Erachtens aber nicht mehr nötig, da dieser Raum bereits in der Aufgabenstellung als Untervektorraum definiert ist.

Das stimmt nicht. Lies die Aufgabenstellung!

Zum Verständnis:
$\begin{eqnarray*} U_c \end{eqnarray*}$ ist die Menge aller Vektoren, die die vorgegebene Gleichung erfüllen.

Beispielsweise liegen in $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ Vektoren wie:
$\begin{eqnarray*} (1,1,0) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (-3,1,4) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (1,0,1) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (0,0,2) \end{eqnarray*}$
Da dies alles Vektoren sind, bei denen die Summe der Koeffizienten 2 ergibt.

Schlaf gut!
Reksilat.

29.10.2009, 09:52

Matheversteher

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Also muss ich doch mit den Kriterien
$\begin{eqnarray*} U\neq \emptyset \end{eqnarray*}$ (U hat keine leere Lösungsmenge)
für alle $\begin{eqnarray*} f,g\in \mathbf U , f+g \in \mathbf U \end{eqnarray*}$
für alle $\begin{eqnarray*} f \in \mathbf U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mu \in \mathbf R , \mu*f \in \mathbf U \end{eqnarray*}$ arbeiten sonst wird das hier nichts oder?

Edit: LaTeX korrigiert. Gehe mit dem Mauszeiger über die Formeln, um den korrekten Quelltext zu lesen. Gruß, Reksilat.

29.10.2009, 10:14

Reksilat

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Richtig. Und da Probieren über Studieren geht, rate ich Dir einfach, dass Du mal ein festes $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ nimmst, z.B. $\begin{eqnarray*} c=1 \end{eqnarray*}$ und dann mal schaust, ob hier die Vektorraumaxiome erfüllt sind.

Gruß,
Reksilat.

29.10.2009, 10:31

Matheversteher

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Mhhh dann habe ich da stehen

$\begin{eqnarray*} x1+x2+x3=1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} c=1 \end{eqnarray*}$

aber wie mache ich dann weiter? verwirrt

Ein $\begin{eqnarray*} (1,0,0) \end{eqnarray*}$ würde doch dann in dem untervektorraum liegen und somit wäre die Menge schonmal nicht $\begin{eqnarray*} U\neq\emptyset \end{eqnarray*}$ .

oder ich könnte jetzt nach jeweils nach $\begin{eqnarray*} x1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x2 \end{eqnarray*}$ usw auflösen also so, dass ich am ende 3 gleichungen da stehen habe

x1= $\begin{eqnarray*} 1 -x2-x3 \end{eqnarray*}$
analog dazu dann für $\begin{eqnarray*} x2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x3 \end{eqnarray*}$

29.10.2009, 10:35

Reksilat

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Wozu willst Du denn was auflösen? Schau doch einfach mal, ob die Summe zweier Vektoren wieder in $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ liegt.

Es ist bei solchen Aufgaben wirklich von Vorteil, wenn man mal ein paar Beispielvektoren nimmt und damit rumrechnet.

Gruß,
Reksilat.

PS: Leerpost gelöscht.

29.10.2009, 10:45

Matheversteher

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Also wenn ich das hier richtig versstehe, dann hab ich jetzt folgendes getann.

ich habe mir zwei Vektoren genommen

v $\begin{eqnarray*} (1,0,0) \end{eqnarray*}$ und u $\begin{eqnarray*} (0,1,0) \end{eqnarray*}$ wenn ich diese beiden addiere v + u = w. mein w ist in diesem fall
w $\begin{eqnarray*} (1,1,0) \end{eqnarray*}$ das heißt mein vektor liegt nicht in dem genannten untervektorraum, da 2 ungleich 1 (hier macht latex kein ungleichzeichen) ist.

für $\begin{eqnarray*} 1*v \end{eqnarray*}$ hingegen liegt er wieder im Untervektorraum. wenn ich nun aber $\begin{eqnarray*} 2*v \end{eqnarray*}$ rechne nicht mehr oder?

29.10.2009, 10:53

Reksilat

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Zitat:

v $\begin{eqnarray*} (1,0,0) \end{eqnarray*}$ und u $\begin{eqnarray*} (0,1,0) \end{eqnarray*}$ wenn ich diese beiden addiere v + u = w. mein w ist in diesem fall
w $\begin{eqnarray*} (1,1,0) \end{eqnarray*}$ das heißt mein vektor liegt nicht in dem genannten untervektorraum

Das soll hier eigentlich kein Chat sein. Überlege doch noch ein wenig, was das für die Menge $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ bedeutet, bevor Du hier antwortest.

29.10.2009, 11:20

Matheversteher

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Mhhhh dann mangelt es mir wahrscheinlich daran, dass ich nicht so wirklich weis, was ich in der Aufgabe eigentlich machen soll. Bzw wie ich die Kriterien aufzeigen soll. traurig

29.10.2009, 11:32

Reksilat

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Du sollst untersuchen, ob die gegebenen Menge Unterräume von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ sind. Teilmengen sind sie offensichtlich, es bleibt also nachzuprüfen, ob die Vektorraumaxiome erfüllt sind.

Du hast nun in $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ zwei Vektoren gefunden, deren Summe nicht in $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ liegt. Was folgerst Du daraus?

29.10.2009, 11:47

Matheversteher

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Daraus folger ich ,dass für $\begin{eqnarray*} c=1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x1+x2+x3=c \end{eqnarray*}$ kein untervektorraum ist.
Das heißt ich mache das jetzt allgemein.
dazu setzte ich $\begin{eqnarray*} x1+x2+x3 =c \end{eqnarray*}$ und analog dazu $\begin{eqnarray*} x1'+x2'+x3' =c \end{eqnarray*}$ .
dementsprechend kann ich dann auch wieder die vektoren addieren und nach c auflösen also etwa so:
$\begin{eqnarray*} (x1+x2+x3) + (x1'+x2'+x3') =c \end{eqnarray*}$
daraus folgt:
$\begin{eqnarray*} (x1+x2' + x2+x2' + x3+x3') = c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c+c = c \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} -c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c=o \end{eqnarray*}$ .
funktioniert das so oder bin ich da total falsch?

29.10.2009, 11:50

Reksilat

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Das ist genau richtig! Schlußfolgerung? Für welche $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ kann $\begin{eqnarray*} U_c \end{eqnarray*}$ kein Unterraum sein?

29.10.2009, 11:58

Matheversteher

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Da bin ich aber froh, dass das bis hier hin stimmt Tanzen

Das heißt dann, dass für alle c ungleich 0 (latex geht wieder nicht) dieser untervektorraum kein untervektorraum ist, somit ist $\begin{eqnarray*} U_c \end{eqnarray*}$ lediglich für 0 ein Untervektorraum.Also ist das hier ein Vektorraum der nur den 0-vektor enthält.

Nun muss ich das noch für das letzte kriterium machen mit µ*v=0 stimmts?
Hier kann ich dann für jedes $\begin{eqnarray*} µ \in\mathbf R \end{eqnarray*}$ einen wert einsetzen ohne, dass der vektorraum verletzt wird. ist das auch richtig?

29.10.2009, 12:47

Matheversteher

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