Zeigen von Mengen

29.10.2009, 12:31

Marta111

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Zeigen von Mengen

Sind zur Zeit verzweifelt an der letzten Aufgabe in Analysis. Einige Ansätze haben wir schon. Schreiben mal einfach die Aufgabe rein. Bitten um eine Starthilfe!

Zeigen Sie: Die Vereinigung endlich vieler nach oben beschränkter Mengen ist wieder nach oben beschränkt.
Der Durchschnitt einer nach oben beschränkten Menge mit einer beliebigen Menge ist ebenfalls nach oben beschränkt.

Ansatz:
Mn n $\begin{eqnarray*} \bigcup \end{eqnarray*}$ i = 1 i = {1} "vereinigt mit" {2}..."vereinigt mit" {n}
Mn+1 $\begin{eqnarray*} \bigcup \end{eqnarray*}$ i = 1 i = {1} "vereinigt mit" {2}..."vereinigt mit" {n} "vereingt mit" {n+1}
weiter kommen wr nciht und wissen auch noch nicht mal ob das hier richtig ist.

Danke im Voraus!

29.10.2009, 12:37

Mazze

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Euer Ansatz ist schwer zu lesen. Ich sehe zumindest nicht was ihr da versucht. Aber es ist auch gar nicht so schwierig. Ich vermute wir reden hier über Teilmengen der reellen Zahlen ?

Eine Teilmenge M der reellen zahlen ist nach oben Beschränkt wenn es eine Zahl $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gibt mit

$\begin{eqnarray*} m \leq \lambda ~ \forall m \in M \end{eqnarray*}$

Jetzt muss mans wirklich nur ordentlich hinschreiben. Ihr habt n beschränkte Mengen

$\begin{eqnarray*} M_1,M_2,...,M_n \end{eqnarray*}$

und entsprechend n obere Schranken

$\begin{eqnarray*} \lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n \end{eqnarray*}$

Welcher dieser Schranken wäre ein möglicher Kandidat für eine obere Schranke der Vereinigungsmenge?

29.10.2009, 14:47

Marta111

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$\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$

29.10.2009, 14:49

Marta111

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was vergessen.... $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ n????

29.10.2009, 14:51

Mazze

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Ganz so einfach ist es nich. Die Lambdas sind doch nicht geordnet. Schau dir mal das an :

$\begin{eqnarray*} M_1 = [0,1] ~ \lambda_1 = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} M_2 = [2,3] ~ \lambda_2 = 3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} M_3 = [1,2] ~ \lambda_3 = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} M_1 \cup M_2 \cup M_3 = [0,3] \end{eqnarray*}$

Welches Lambda ist hier eine mögliche obere Schranke?

29.10.2009, 14:51

Marta111

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ah ne vielleicht n+1..

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29.10.2009, 14:52

Mazze

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Lies dir erstmal meinen Beitrag durch.

29.10.2009, 14:52

Marta111

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ja dann lambda 2

29.10.2009, 14:55

Marta111

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würde ich dann so sagen da 3 ja dann meine obere schranke ist, aber ich weiß noch nciht recht wie das aufschreiben soll und wie du auf:
M1{0,1}
M2.... gekommen bist!!!!

29.10.2009, 14:58

Mazze

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Das war ein Beispiel um dir den Sachverhalt klarer zu machen. Du hast richtig $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ identifiziert. Das wäre eine obere Schranke. Welche Eigenschaft hat $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ bezüglich $\begin{eqnarray*} \lambda_1,\lambda_3 \end{eqnarray*}$ in meinem Beispiel?

29.10.2009, 15:12

Marta111

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Da die Menge M2 in deinem Beispiel aus {2,3} besteht und in der menge das maximum ist und nach vereinigung der drei mengen bleibt das maximum der M2 also lambda2 die oberste schranke.... so ungefähr richtig meine begründung, aber nochmal auf die aufgabe allgemein.... recht da einfach so ein beispiel??? ich muss ja zeigen das eine endliche menge,die nach oben hin beschränkt ist und mit anderen mengen vereinigt ist wieder beschränkt ist..... aaaaaaaaaaaaaaaaahhh schon klar, wir haben gezeigt das eine menge in deinem beispiel M2 nach obenbeschränkt ist und nachdem sie mit anderen mengen vereinigt wurden ist wieder beschränkt war in dem beispiel wieder durch die menge M2 mit lambda2..... richtig????

29.10.2009, 15:18

Mazze

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Zitat:

recht da einfach so ein beispiel???

Dieses Beispiel ist kein beweis, ich hab es dir gegeben um dich auf die Beweisidee aufmerksam zu machen.

Zitat:

ich muss ja zeigen das eine endliche menge,die nach oben hin beschränkt ist und mit anderen mengen vereinigt ist wieder beschränkt ist

Nein, du sollst zeigen das die endliche Vereinigung beschränkter Mengen wieder beschränkt ist. Du sollst nicht zeigen das die Vereinigung endlicher Mengen beschränkt ist. Das ist ein klarer Unterschied ! Aber zurück zum Beweis :

$\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ ist die größte der 3 oberen Schranken. Das wollte ich von dir hören. Mathematisch formuliert heisst das

$\begin{eqnarray*} \lambda_2 = \max\{\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\} \end{eqnarray*}$

und das liefert sofort die Idee :

$\begin{eqnarray*} \lambda^* = \max\{\lambda_1,\lambda_2,..., \lambda_n\} \end{eqnarray*}$

Dieses Lambda-Stern ist eine obere Schranke der Vereinigung von

$\begin{eqnarray*} \bigcup_{i=1}^n M_i \end{eqnarray*}$

Du musst jetzt nur noch zeigen das tatsächlich

$\begin{eqnarray*} \forall x \in \bigcup_{i=1}^n M_i ~ x \leq \lambda^* \end{eqnarray*}$

gilt. Dann hast Du den ersten Teil bewiesen.

29.10.2009, 15:38

Marta111

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ich verstehe es, und es ist auch echt nett das du versuchst mir das zu erklären nun weiß ich das ich das eine als IV hab und das andere als Ind.beh.... nun weiß ich aber garnicht ob ich das mit vollständiger induktion oder mit einfachen beispielen besser ausformulieren kann...

29.10.2009, 15:45

Mazze

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Das kann mit mit vollständiger Induktion machen, würde ich aber nicht tun, da das hier echt zu viel ist. Ich würde so herangehen :

Seien $\begin{eqnarray*} M_1,M_2,...,M_n \end{eqnarray*}$ nach oben beschränkte Teilmengen der reellen Zahlen. Dann gibt es Schranken $\begin{eqnarray*} \lambda_1,\lambda_2,... \lambda_n \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} x \in M_i \Rightarrow x \leq \lambda_i \end{eqnarray*}$

(Bis hierhin haben wir noch gar nichts gemacht, nur ordentlich aufgeschrieben).

Zu zeigen : $\begin{eqnarray*} \bigcup_{i=1}^n M_i \end{eqnarray*}$ ist ebenfalls nach oben beschränkt. Um die Beschränktheit dieser Menge zu zeigen müssen wir eine obere Schranke finden.

Behauptung : $\begin{eqnarray*} \lambda^* = \max\{\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n\} \end{eqnarray*}$

ist eine obere Schranke der Vereinigung. (Du musst hier an der Stelle begründen, warum lambda-stern existiert).

Danach ist zu zeigen :

$\begin{eqnarray*} x \in \bigcup_{i=1}^n M_i \Rightarrow i \leq \lambda^* \end{eqnarray*}$

Beweis : Sei also $\begin{eqnarray*} x \in \bigcup_{i=1}^n M_i \end{eqnarray*}$ dann gibt es ein $\begin{eqnarray*} i \in \{1,...,n\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \in M_i \end{eqnarray*}$ (warum gibt es dieses i? Begründen!) . Dann ist mit Sicherheit

$\begin{eqnarray*} x \leq \lambda_i \leq ... \end{eqnarray*}$

Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.10.2009, 15:58

Marta111

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okay... ich glaub muss das nochmal für mich auf schreiben und die anderen sachen noch mit herausfinden, danke dir soweit der zweite teil der aufgabe ist ja so ähnlich nur mit dem durchschnitt anzugeben richtig??? und einer beliebigen menge die nach unten oder und obenbeschränkt sein kann...????

29.10.2009, 16:05

Mazze

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Die Zweite ist etwas anders, aber sehr kurz. Sei M nach oben beschränkt und N beliebig. Dann gilt

$\begin{eqnarray*} x \in M \cap N \Leftrightarrow x \in M \wedge x \in N \end{eqnarray*}$

Nun ja, wenn aber $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ dann gibts eine Zahl ... so dass .... fertig! Augenzwinkern

Augenzwinkern

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