Treppennormalform bei Matrizen

29.10.2009, 14:02

Torrac

Treppennormalform bei Matrizen

Hi Leute. Ich bins schon wieder:
Momentan hänge ich an der Treppennormalform von Matrizen

$\begin{eqnarray*} A_{58}=\begin{pmatrix} * & * & * & * & * & * & * & *\\ * & * & * & * & * & * & * & * \\ * & * & * & * & * & * & * & *\\ * & * & * & * & * & * & * & * \\ * & * & * & * & * & * & * & * \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

So dann folgendes:
"Zunächst müssen wir gewisse Spaltenindizies auszeichnen, und zwar der Größe nach. Die Folge 2,3,5,7 ist gestattet, also $\begin{eqnarray*} j_1=2,j_2=3,j_3=5,j4=7, \end{eqnarray*}$ und es ist $\begin{eqnarray*} r=4. \end{eqnarray*}$
Bedingung I besagt: $\begin{eqnarray*} a_{1j_1}=a_{12}=1,a_{2j_2}=a_{23}=1, a_{35}=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{47}=1. \end{eqnarray*}$ Also

$\begin{eqnarray*} A_{58}=\begin{pmatrix} * & 1 & * & * & * & * & * & *\\ * & * & 1 & * & * & * & * & * \\ * & * & * & * & 1 & * & * & *\\ * & * & * & * & * & * & 1 & * \\ * & * & * & * & * & * & * & * \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Wie kommt man auf die Indizes 2,3,5,7?
Wie verstehe ich $\begin{eqnarray*} a_{1j_1}? \end{eqnarray*}$ (Okay das hab ich grade kapiert!)

Vielleicht habt ihr ja einen Tipp

29.10.2009, 14:18

klarsoweit

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RE: Treppennormalform bei Matrizen
Also irgendwie scheint mir, das ganze ist arg aus dem Zusammenhang gerissen, so daß man wohl kaum etwas dazu sagen kann.

29.10.2009, 14:26

Torrac

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RE: Treppennormalform bei Matrizen

Zitat:

Original von klarsoweit
Also irgendwie scheint mir, das ganze ist arg aus dem Zusammenhang gerissen, so daß man wohl kaum etwas dazu sagen kann.

hmm ja okay das kann möglich sein:

Definition: Wir sagen, das eine Matrix in Treppennormalform ist, wenn A die Nullmatrix ist oder wenn es r Spaltenindizes j1<j2<j3<..<=jr so gibt, dass für alle 1<=i<=r gilt:
I. $\begin{eqnarray*} a_{ij_1} =1 \end{eqnarray*}$ , und
II.
III.
IV.

Da ich Regel II-VI verstehe aber an I hängen bleibe fällt es mir schwer weiter zu machen^^

Anhand der allgemeinen Form kann ich es mir ja vllt noch relativ logisch herleiten aber dann kommen da so Beispiel für Matirzen in Treppennormalformel wie:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und dann denk ich mir "okay du hast es doch nicht verstanden"

29.10.2009, 14:35

klarsoweit

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RE: Treppennormalform bei Matrizen

Zitat:

Original von Torrac
I. $\begin{eqnarray*} a_{ij_1} =1 \end{eqnarray*}$ , und

Ich vermute mal, daß das $\begin{eqnarray*} a_{ij_i} =1 \end{eqnarray*}$ heißen sollte.
Das heißt, in der i-ten Zeile steht in der Spalte j_i eine 1.

29.10.2009, 14:49

Torrac

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RE: Treppennormalform bei Matrizen

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Torrac
I. $\begin{eqnarray*} a_{ij_1} =1 \end{eqnarray*}$ , und

Ich vermute mal, daß das $\begin{eqnarray*} a_{ij_i} =1 \end{eqnarray*}$ heißen sollte.
Das heißt, in der i-ten Zeile steht in der Spalte j_i eine 1.

Ja das sollte $\begin{eqnarray*} a_{ij_i} =1 \end{eqnarray*}$ heißen.

Aber dann verstehe ich das Beispiel nicht:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dann wären doch die Spaltenindizes 1,2,3,4 und r=4 oder?
Dann wäre ja $\begin{eqnarray*} a_{1j_1}=1 \end{eqnarray*}$ , was noch zutrifft denn $\begin{eqnarray*} j_1=1 \end{eqnarray*}$ aber bei $\begin{eqnarray*} a_{3j_3} \end{eqnarray*}$ würde es doch nicht mehr stimmen oder? $\begin{eqnarray*} j_3=3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{33} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ .

29.10.2009, 16:14

Torrac

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mir würde es aber auch reichen wenn mir jemand die Treppennormalformel an einem Beispiel erklären könnte ohne den ganzen allgemeinen Kram. Das größte Problem stellt denke ich mal das mit den Spaltenindizes dar. Woher weiß ich welche Spaltenindizes und welchen Wert r in dem Beispiel hat?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

29.10.2009, 18:03

klarsoweit

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Die obige Matrix ist schon in Treppennormalformel. Diese ist erreicht, wenn für jede Zeile unter dem ersten Nicht-Null-Element nur Nullen stehen.

Bei dieser Matrix ist j_1 = 1 und j_2 = 5. Also ist r = ... ?

29.10.2009, 18:11

Torrac

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Zitat:

Original von klarsoweit
Die obige Matrix ist schon in Treppennormalformel. Diese ist erreicht, wenn für jede Zeile unter dem ersten Nicht-Null-Element nur Nullen stehen.

Bei dieser Matrix ist j_1 = 1 und j_2 = 5. Also ist r = ... ?

r=2?

29.10.2009, 18:12

klarsoweit

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