Umkehrabb. beweisen

29.10.2009, 16:44	RS	Auf diesen Beitrag antworten »
Umkehrabb. beweisen Sei $\begin{eqnarray} f : X \rightarrow Y \end{eqnarray}$ eine Abb. Zu zeigen: Es gibt genau dann eine Abbildung $\begin{eqnarray} g : Y \rightarrow X \end{eqnarray}$ mit g komposition f = idX und f komposition g =idY , wenn f bijektiv ist. in dem fall gibt es exakt eine abb. $\begin{eqnarray} f^{-1} \end{eqnarray}$ . jemand ne idee wie das anzugehen ist?
29.10.2009, 17:53	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Das selbe wie bei allen Eindeutigkeitsbeweisen, nimm an es gebe ein zweites was das selbe leistet und zeige das dass zweite doch das erste ist. Ausformuliert : Sei $\begin{eqnarray} f: X \to Y \end{eqnarray}$ bijektiv und seien $\begin{eqnarray} g: Y \to X, h : Y \to X \end{eqnarray}$ der Art dass $\begin{eqnarray} g(f(x)) = f(g(x)) = x \wedge h(f(x)) = f(h(x)) = x \end{eqnarray}$ Dann ist zu zeigen das dann $\begin{eqnarray} g(x) = h(x) ~ \forall x \in Y \end{eqnarray}$

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