Gruppen der Ordnung 4

30.10.2009, 13:53

Der Lustige Peter

Gruppen der Ordnung 4

Hallo,
ich habe zwei Fragen zu einer Aufgabe. Sie lautet:

Zitat:

Zeigen Sie: Jede Gruppe der Ordnung 4 ist abelsch. Es gibt genau zwei nichtisomorphe Gruppen der Ordnung 4

1. Kommutativität
Die Gruppe hat Ordnung 4 $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ sie besteht aus 4 Elementen a,b,c und id, die paarweise verschieden sind.
oBdA: Betrachte $\begin{eqnarray*} a \circ b \end{eqnarray*}$
Fall 1: $\begin{eqnarray*} a \circ b=id \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow a=b^{-1} \Rightarrow a \circ b=b \circ a \end{eqnarray*}$
Fall 2: $\begin{eqnarray*} a \circ b=c \end{eqnarray*}$
betrachte 4 Möglichkeiten:
a) $\begin{eqnarray*} b \circ a=id \Rightarrow a \circ b=id \Rightarrow c=id \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Widerspruch
b) $\begin{eqnarray*} b \circ a=a \Rightarrow b=id \Rightarrow a=c \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Widerspruch
c) $\begin{eqnarray*} b \circ a=b \Rightarrow \end{eqnarray*}$ analog zu b)
d) $\begin{eqnarray*} b \circ a=c \Rightarrow b \circ a=a \circ b \end{eqnarray*}$
Stimmt soweit alles? (das ist meine erste Frage) Meine zweite lautet: Wie gehe ich an den zweiten Teil ran, bzw. was heißt überhaupt, dass zwei Gruppen isomorph oder nichtisomorph sind?

30.10.2009, 14:17

Reksilat

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Hi Peter,

Zwei Gruppen $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ sind genau dann isomorph, wenn es einen bijektiven Homomorphismus $\begin{eqnarray*} \sigma : G\to H \end{eqnarray*}$ gibt. Also eine bijektive Abbildung mit $\begin{eqnarray*} \sigma (a\circ_G b)=\sigma (a)\circ_H\sigma(b) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} a,b\in G \end{eqnarray*}$ .
Dies bedeutet letztlich, dass die beiden Gruppen strukturgleich sind. Sämtliche Eigenschaften, die ich für die eine Gruppe zeige, gelten dann auch gleichzeitig für die andere. (Wenn zum Beispiel G x Elemente der Ordnung 5 hat, so hat auch H x Elemente der Ordnung 5, etc.)

Hier könnte man eine Verknüpfungstafel aufstellen und sie nach und nach ausfüllen. Wenn man die Tafel eindeutig ausfüllen konnte, so kann es, bis auf Umbenennung der Elemente, nur eine Gruppe geben. Ansonsten muss man eine Fallunterscheidung machen und erhält mehrere mögliche Gruppentafeln. Alle anderen Gruppen der Ordnung 4 können dann durch Umbenennung der Elemente in eine dieser Gruppentafeln überführt werden.

Achtung: Wenn man eine Gruppentafel hat, so muss man entweder noch zeigen, dass die so definierte Verknüpfung assoziativ ist, oder man gibt einfach ein konkretes Beispiel an, welches offensichtlich assoziativ ist, z.B. Untergruppen einer $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ .

Gruß,
Reksilat.

30.10.2009, 14:24

Cordovan

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Einfacher ist es, wenn du über den Satz von Langrange argumentierst und dir mögliche Untergruppen anschaust.

Cordovan

30.10.2009, 14:39

Mystic

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Am einfachsten ist das Beispiel, wenn du folgenden (fast trivialen) Satz zeigst:

Gibt es einer Gruppe G der Ordnung n ein Element der Ordnung n oder sind alle Elemente in G von einer Ordnung höchstens 2, so ist die Gruppe kommutativ.

30.10.2009, 14:52

Reksilat

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@Mystic: Irgendwelche Sätze aus dem Nichts hervorzuzaubern ist aber nicht unbedingt hilfreich. Woher soll dieses Wissen denn kommen? Es geht hier schließlich nicht um den schnellsten Weg, sondern um Erkenntnisse. Dass man die Aufgabe nach einiger Zeit auf ganz andere Weise lösen kann, sollte klar sein.

Gruß,
Reksilat. Wink

30.10.2009, 15:15

Mystic

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@Reksilat

Wieso aus dem Nichts? Sehe ich jetzt nicht unbedingt ein... Immerhin hat man hier genau die natürliche Fallunterscheidung, dass es entweder ein Element der Ordnung 4 gibt oder alle Elemente eine Ordung höchstens 2 haben... Im Grunde genommen habe ich eigentlich nur den Hinweis gegeben, dass der letztere Fall mit der Gruppenordnung n=4 nichts zu tun hat, sondern dass da ein allgemeinerer Satz dahintersteckt...

30.10.2009, 15:25

Der Lustige Peter

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Vielen Dank schon mal an Alle!
Also eigentlich habe ich ja die beiden nichtisomorphen Gruppen bei der Kommutativität schon herausgefunden oder? Das wäre genau meine Fallunterscheidung
Das ist 1. die Gruppe mit $\begin{eqnarray*} a \circ b = id \Rightarrow a=b^{-1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c=c^{-1} \end{eqnarray*}$ Das wäre z.B. die Gruppe $\begin{eqnarray*} G:= \{(1,2); (1,2,3); (1,3,2); id\} \end{eqnarray*}$
Und 2. die Gruppe mit $\begin{eqnarray*} a \circ b = c \end{eqnarray*}$ . Was dabei dann jeweils die Inverse ist, muss ich noch herausfinden.

Komme ich so hin?

Edit: LaTeX korrigiert. Geschweifte Klammern mit \{ und \}. Gruß, Reksilat.

30.10.2009, 15:41

Reksilat

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Dein $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ist keine Gruppe. Es ist $\begin{eqnarray*} (1,2)(1,2,3)=(1,3)\not\in G \end{eqnarray*}$ .

30.10.2009, 16:13

Der Lustige Peter

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Okay zugegeben Augenzwinkern

Aber was ist mit dem Rest? Komme ich damit weiter?

30.10.2009, 17:09

Reksilat

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Mein Tipp ist, jeweils eine Gruppentafel aufzuschreiben und nach und nach die Elemente einzutragen. Ist ein bisschen wie Sudoku! smile

Gruß,
Reksilat.

30.10.2009, 17:54

Der Lustige Peter

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Genügt es als Beweis, wenn ich sage, dass es nur die beiden Fälle wie bei meinem Kommutativitätsbeweis geben kann und dann die Tafeln hinschreibe, die ja eindeutig lösbar sind und dann noch beweise, dass die beiden nicht isomorph sind? oder muss ich dann noch mehr machen?

30.10.2009, 19:12

Der Lustige Peter

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Halt, Halt, Halt! Im zweiten Fall sind sie ja gar nicht eindeutig lösbar!

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{c||c|c|c|c} & id & a & b & c\\ \hline id & id & a & b & c\\ a & a & & c & \\ b & b & c & & \\ c & c & & & \\ \end{array} \end{eqnarray*}$

Da kann ich jetzt bei $\begin{eqnarray*} a \circ a \end{eqnarray*}$ sowohl $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} id \end{eqnarray*}$ eintragen und es kommt jedesmal was anderes raus. Nämlich:
$\begin{eqnarray*} \begin{array}{c||c|c|c|c} & id & a & b & c\\ \hline id & id & a & b & c\\ a & a & b & c & id\\ b & b & c & id & a\\ c & c & id & a & b\\ \end{array} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{array}{c||c|c|c|c} & id & a & b & c\\ \hline id & id & a & b & c\\ a & a & id & c & b\\ b & b & c & a & id\\ c & c & b & id & a\\ \end{array} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{array}{c||c|c|c|c} & id & a & b & c\\ \hline id & id & a & b & c\\ a & a & id & c & b\\ b & b & c & id & a\\ c & c & b & a & id\\ \end{array} \end{eqnarray*}$
Dann habe ich aber doch mehr als zwei nichtisomorphe Gruppen oder?
Oder hab ich mich irgendwo vertan, oder was missverstanden?

30.10.2009, 19:27

Reksilat

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Deine ersten beiden Tabellen sind gleich, nur dass die Bezeichnungen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ vertauscht wurden.

30.10.2009, 23:13

Der Lustige Peter

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bleiben immer noch drei nichtisomorphe gruppen, oder?

31.10.2009, 08:14

Der Lustige Peter

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Stop Kommando zurück! Ich glaube ich habe es.
Ich nummeriere mal die Tabellen und dann gebe ich jeweils die Verschiebung an, die sie in eine andere transformiert.
1. $\begin{eqnarray*} \begin{array}{c||c|c|c|c} & id & a & b & c\\ \hline id & id & a & b & c\\ a & a & c & id & b\\ b & b & id & c & a\\ c & c & b & a & id\\ \end{array} \end{eqnarray*}$ 2. $\begin{eqnarray*} \begin{array}{c||c|c|c|c} & id & a & b & c\\ \hline id & id & a & b & c\\ a & a & b & c & id\\ b & b & c & id & a\\ c & c & id & a & b\\ \end{array} \end{eqnarray*}$ 3. $\begin{eqnarray*} \begin{array}{c||c|c|c|c} & id & a & b & c\\ \hline id & id & a & b & c\\ a & a & id & c & b\\ b & b & c & a & id\\ c & c & b & id & a\\ \end{array} \end{eqnarray*}$ 4. $\begin{eqnarray*} \begin{array}{c||c|c|c|c} & id & a & b & c\\ \hline id & id & a & b & c\\ a & a & id & c & b\\ b & b & c & id & a\\ c & c & b & a & id\\ \end{array} \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ vertauscht mit $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ist 3.
3. $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ vertauscht mit $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ist 1.
3. $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ vertauscht mit $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ist wieder 3.

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ die beiden nichtisomorphen Gruppen sind 1. und 4.
Oder muss ich noch was überprüfen?

31.10.2009, 09:01

Mystic

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Ja, das stimmt so... Freude

Wenn es nur um die Kommutativität geht, bist du damit fertig, denn alle Tafeln sind ja kommutativ, für den Nachweis der Gruppeneigenschaft fehlt aber noch die Assoziativität...

Aber nochmals, auch wenn es vielleicht Spaß macht, diese Operationstafeln so erstellen, ein Profi würde bei der Lösung der Aufgabe sowieso anders vorgehen und einfach die folgenden Fälle unterscheiden:

1. Fall: Es gibt Elemente der Ordnung 4 in der Gruppe G

Ist a ein solches, so sind dann $\begin{eqnarray*} a^0,a^1,a^2,a^3 \end{eqnarray*}$ alle Elemente von G und die Operation in G ist durch

$\begin{eqnarray*} a^i a^j =a^{(i+j) \mod 4} \end{eqnarray*}$

festgelegt, d.h., wir erhalten bis auf Isomorphie die Gruppe $\begin{eqnarray*} (\mathbb{Z}_4,+) \end{eqnarray*}$ und die ist natürlich kommutativ...

2. Fall: Alle Elemente von G haben die Ordnung höchstens 2, sind also selbstinvers.

Sind e,a,b,c die Elemente von G und e das Einselement, so ist die Gruppe zunächst einmal kommutativ wegen

$\begin{eqnarray*} \forall x,y \in G: xy = (xy)^{-1} = y^{-1}x^{-1} = yx \end{eqnarray*}$

Ferner muss

$\begin{eqnarray*} ab=ba=c, \quad ac=ca=b, \quad bc=cb=a \end{eqnarray*}$

sein, da man sonst jeweils einen Widerspruch erhalten würde (insbesondere kann niemals e herauskommen, da die Elemente ja selbstinvers sind) ... Beim Nachweis der Assoziativität

$\begin{eqnarray*} \forall x,y,z \in G: (xy)z =x(yz) \end{eqnarray*}$

kann man übrigens ganze Klassen von Fällen zusammenfassen, z.B. wenn

$\begin{eqnarray*} \{x,y,z\}=\{a,b,c\} \end{eqnarray*}$

gilt, da ja dann

$\begin{eqnarray*} xy=z, \quad yz=x \end{eqnarray*}$

ist... Oder man zeigt gleich die Isomorphie zu einer bekannten Gruppe, wie z.B. zur Gruppe der Binärfolgen der Länge 2 mit der "Binäraddition ohne Übertrag" als Verknüpfung...Es gibt somit für diesen zweiten Fall überhaupt nur eine einzige Möglichkeit, die Gruppentafel zu definieren...

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