Teilbarkeitsrelation=Äquivalenzrelation beweisen

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Andi853 Auf diesen Beitrag antworten »
Teilbarkeitsrelation=Äquivalenzrelation beweisen
Moin! Wink

Ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe:

Zeigen Sie, dass folgende Relation eine Äquivalenzrelation ist:

Zeigen Sie jede Eigenschaft, die eine Äquivalenzrelation erfüllen muss, einzeln auf.

Ich bin mir irgendwie oft ziemlich unsicher ob meine "Lösung" richtig ist oder nicht, sprich ob die Beweisführung so passt =(

Also.. smile Es muss reflexiv, transitiv und symmetrisch sein.

Reflexivität: Es muss für alle gelten:
Übertragen auf die Aufgabe: ... Also muss ich beweisen, dass es gibt oder ist der Ansatz schon falsch? Wie kann ich beweisen, dass es werte für x,y gibt die 5 ergeben? Oder kann ich einfach ein Beispiel bringen wie zb x=10 y=5 ?

Transitivität: Für alle muss gelten:
Also muss z durch y und durch x Teilbar sein; sprich durch 5. Meine Annahme wäre, dass ist, also durch 5 teilbar ist. Dann ist und damit durch 5 teilbar, also

Symmetrie: Für alle muss gelten:
Wenn also 5 durch teilbar ist, so ist ein vielfaches von 5. Als Ansatz würde ich hier einfach wieder nehmen..
Dann ist ein Vielfaches von 5, da beide Seiten durch 5 teilbar sind. Also gilt auch

Danke euch schon mal für eure Hilfe smile
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Oder kann ich einfach ein Beispiel bringen wie


Niemals! Gewöhne es dir von Anfang an ab. Beispiele kann man nur benutzen um Aussagen zu widerlegen, niemals um sie zu beweisen.

Zur Reflexivität: Du musst zeigen das , du musst also zeigen :

(trivial)

Symmetrie : Wenn dann soll sein. Du musst also zeigen :



Dies ist einfach wenn Du dir folgendes klar machst :

und

Transitivität : Schwer nachzuvollziehen was Du da versuchst. Der erste Schritt sollte immer das richtige und ordentliche Aufschreiben sein.

Seien dann gibt es ganze Zahlen p und q mit




Zu zeigen: Es gibt eine ganze Zahl r mit

Den Beweis führt man in dem man eine sogenannte "Nahrhafte Null" addiert. Das heisst Du addierst zu x - z einen bestimmten Wert und ziehst ihn wieder ab. Welcher Wert würde sich da wohl anbieten?
 
 
Andi853 Auf diesen Beitrag antworten »

Reflexivität: Die Teilbarkeitsrelation wird so aufgefasst: für a|b gibt es mindestens ein n, für das gilt: n*a=b
Also ist unser n in diesem Fall 0? weil 0*a gibt ja 0 und dann wäre x-x erfüllt? Oder kann ich hier die Regel mit a|b = a|-b anwenden? dann müsste ich noch zeigen, dass x+x durch 5 teilbar ist.. nur wie stelle ich das an?

Symmetrie: ok danke dann ist und somit sind beide und sind symmetrisch.

Transitivität: Versteh nicht ganz wie ich das mit dem addieren da anwenden soll =( Hab deswegen das mal anders probiert..
Habe die erste gleichung nach x aufgelöst und die zweite nach z. Dann hab ich beides in eingefügt, sodass rauskam. Dann war was ich dann in eingefügt habe
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Reflexivität: Die Teilbarkeitsrelation wird so aufgefasst: für a|b gibt es mindestens ein n, für das gilt: n*a=b Also ist unser n in diesem Fall 0? weil 0*a gibt ja 0 und dann wäre x-x erfüllt?


Warum benutzt Du ein Fragezeichen? Ist denn 0*a nicht gleich 0? Für die eigentliche Aufgabe sollst Du ja Teilbarkeit durch 5 nehmen. In dem Fall ist also

und damit ist

Zitat:
Symmetrie: ok danke dann ist und somit sind beide und sind symmetrisch.


Hast Du überhaupt nachgerechnet was Du da geschrieben hast ?



Mein Beitrag war



das ist schon was anderes als Du geschrieben hast!

Zitat:
Transitivität: Versteh nicht ganz wie ich das mit dem addieren da anwenden soll =( Hab deswegen das mal anders probiert.. Habe die erste gleichung nach x aufgelöst und die zweite nach z. Dann hab ich beides in eingefügt, sodass rauskam. Dann war was ich dann in eingefügt habe


Du hast im Prinzip das gemacht, was ich wollte das Du es machst, aber sehr schlecht formuliert. Bzw. das Einsetzen ist schlechter Stil. Aber tatsächlich ist p + q das r was wir suchen. Ich hätte es so aufgeschrieben :



+ y - y ist hier die "nahrhafte Null". Das heisst, eigentlich ändern wir den Ausdruck nicht, aber wir schummeln ein y ein was wir benutzen können.
Andi853 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Hast Du überhaupt nachgerechnet was Du da geschrieben hast ?



Mein Beitrag war



das ist schon was anderes als Du geschrieben hast!



ups ja hab mich vertippt. War zu viel codewirrwarr und ich hatte keinen durchblick^^

ist dann gleich und das ist gleich

Vielen Dank!
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bezweifle immernoch das Du den Hinweis von mir richtig verstehst. Daher schreib ichs dir mal ordentlich auf.

Zu zeigen : , sei also , dann gibt es eine Zahl q mit , insbesondere ist dann auch . Multiplikation der Gleichung mit Minus 1 liefert , also ist da ist.
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