Beweis einer Ungleichung #2

30.10.2009, 18:11	Majin_Clodan	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis einer Ungleichung #2 Hi Leute! Ja, jetzt hab ich wieder eine Ungleichung zu lösen. Hoffe, dass ihr mir wieder so gut helfen könnt. Also ich habe die folgende Ungleichung: $\begin{eqnarray} 2\| ab \| \leq k²a² + \frac{1}{k²} b² \end{eqnarray}$ mit: $\begin{eqnarray} k > 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a,b \in R \end{eqnarray}$ Ich bin zuerst den fall durchgegangen, dass der Betrag von "ab" positiv ist d.h. es steht nun folgendes da: $\begin{eqnarray} 2 ab \leq k²a² + \frac{1}{k²} b² \end{eqnarray}$ Nun habe ich das "a" und "b" auf die andere Seite geschoben: $\begin{eqnarray} 2 \leq \frac{K²a}{b} + \frac{b}{k²a} \end{eqnarray}$ Nun brachte ich alles auf einen gemeinsamen Nenner: $\begin{eqnarray} 2 \leq \frac{K^4a² + b²}{K²ab} \end{eqnarray}$ Nun bringe ich den Nenner auf die andere Seite: $\begin{eqnarray} 2K²ab \leq K^4a² + b² \end{eqnarray*}$ So weit so gut, doch nun weiß ich leider nicht weiter. Wie könnte ich nun fortfahren? Ist das auch bis jetzt alles richtig? Falls dem nicht so wäre, würde ich mich über Hilfe freuen. Vielen Dank schon einmal im vorraus. MFG Majin_Clodan
30.10.2009, 18:23	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Stichwort: Binomische Formel Alle deine Umformungen sind nicht nötig.
30.10.2009, 18:37	Majin_Clodan	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich jetzt aber habe: $\begin{eqnarray} 2ab \leq (ka \pm \frac{b}{k} )² \end{eqnarray}$ bringt mich das auch nicht wieder bzw. weiß überhaupt nicht, wie ich jetzt fortfahren soll. Oder meintest du einen anderen Weg? MFG Majin_Clodan
31.10.2009, 16:52	Majin_Clodan	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir keiner helfen? Wie müsste ich da nun weiter vorgehen? Bei dem, was mir tmo sagte, komm ich gar nicht weiter und bei meinem auch nicht. MFG Majin_Clodan
31.10.2009, 16:56	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Puh, das mit der binomischen Formel üben wir aber nochmal. Was ist denn $\begin{eqnarray} (k\|a\|-\frac 1 k \|b\|)^2 \end{eqnarray}$ ?
31.10.2009, 17:12	Majin_Clodan	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso "\|a\|" und nicht nur "a" bzw. "\|b\|" und nicht nur "b"? Also es würde folgendes dastehen: $\begin{eqnarray} k²\|a\|² - 2 \|a\| \|b\| + \frac{\|b\|²}{k²} \end{eqnarray}$ Und nu? MFG Majin_Clodan
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31.10.2009, 17:15	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Weil wir sonst -2ab hätten und nicht -2\|a\|\|b\| = -2\|ab\| Und nun musst du nur noch erkennen dass die Aussage damit bewiesen ist weil Quadrate immer größer gleich 0 sind.
31.10.2009, 17:22	Majin_Clodan	Auf diesen Beitrag antworten »
Mal ne Frage: Wieso würde denn meine Binomische Formel nicht stimmen d.h. die Formel, welche ich gestern schrieb(siehe 3. Beitrag), aber deine schon...? MFG Majin_Clodan
31.10.2009, 17:35	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} 2\| ab \| \leq k²a² + \frac{1}{k²} b² \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 2ab \leq (ka \pm \frac{b}{k} )² \end{eqnarray*}$ ist nunmal nicht äquivalent.

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