Menge aller Abbildungen, Beweis

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31.10.2009, 18:10	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
Menge aller Abbildungen, Beweis Hallo Aufgabe: Es seien X, Y endliche Mengen und es sei M die Menge aller Abbildungen f: X --> Y Zeigen Sie, dass gilt: $\begin{eqnarray} \|M\|= \|Y\|^{\|X\|} \end{eqnarray}$ Ich denke, dass man hier mit Induktion beweisen sollte, und es gilt: $\begin{eqnarray} X= {x1...xn} \|X\| = n \end{eqnarray}$ Ab hier weiß ich nicht wie ich mit der Induktion anfangen soll !!!
31.10.2009, 19:17	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie viele Abbildungen gibt es denn von einer Einelementigen Menge in eine Menge $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ ? Hinweis: Jedes Urbild muss genau ein Bild haben. Also wie viel Möglichkeiten?
31.10.2009, 23:08	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge aller Abbildungen, Beweis von einer einelementigen Menge nach Y, muss es genau 1 Abbildung geben, oder?
01.11.2009, 09:14	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Edit: Der Beitrag enthält Schwachsinn. Ganz genau . Begründung wie schon angedeutet direkt mit der Definition einer Abbildung.
01.11.2009, 10:48	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber dann stimmt die Gleichung oben doch nicht, wenn z.B. Y eine zweielementige Menge ist.
01.11.2009, 10:49	Manus	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich mich kurz einschalten darf: Von einer 1-elementigen Menge in die Menge Y gibt es nicht eine sondern genau \|Y\| Abbildungen. Nehmen wir mal die 1-elementige Menge {1} und Y={1,2,3} Dann sind in $\begin{eqnarray} Y^X \end{eqnarray}$ genau 3 Abbildungen enthalten. Nämlich 1 wird auf 1, 1 wird auf 2 und 1 wird auf 3 abgebildet.
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01.11.2009, 10:52	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, das stimmt eigentlich. Aber wie muss ich jetzt am besten den Beweis führen?
01.11.2009, 12:07	Manus	Auf diesen Beitrag antworten »
Mach doch wirklich vollständige Induktion, das tut es ganz gut (auch wenn es hier eigentlich zuviel des guten ist): Für \|X\|=1 stimmt die Behauptung ja jetzt offensichtlich. IV: FÜr \|X\|=n gelte die Behauptung. Also $\begin{eqnarray} \|Y^X\|=\|Y\|^n \end{eqnarray}$ . IS: Wieviele Abbildungen gibt es dann für \|X\|=n+1...
01.11.2009, 12:11	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
Soweit war ich mittlerweile auch, nur habe ich keine Ahnung wie ich beim Induktionsschritt vorgehen soll. Da bräuchte ich dringend Hilfe
01.11.2009, 13:53	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Ohwe, was hab ich da nur für Blödsinn geschrieben . @Manus, danke für die Korrektur .
01.11.2009, 14:58	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
hilfe: ich weiß nicht wie man einen Induktionsschritt bei Mengen macht ???
02.11.2009, 21:06	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat wirklich keiner eine Idee???? Ich komme einfach beim Induktionsschritt nicht weiter...
03.11.2009, 00:27	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso willst Du das unbedingt mit Induktion machen? Das ist ein einfaches, kombinatorisches Argument: Die Elemente der Menge $\begin{eqnarray} X=\{x_1,...,x_n\} \end{eqnarray}$ werden auf die Elemente von $\begin{eqnarray} Y=\{y_1,...,y_m\} \end{eqnarray}$ abgebildet. Wie viele Möglichkeiten gibt es, $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ abzubilden? Wie viele für $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ ? Und so weiter... Wie viele Möglichkeiten macht das zusammen? Gruß, Reksilat. PS: Wenn Du das per Induktion machen willst, musst Du im Induktionsschritt Funktionen, die auf einer n-elementigen und einer (n+1)-elementigen Menge definiert sind, miteinander in Verbindung bringen. Ich weiß nicht, ob das einfacher ist.

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