Bruch- und Wurzelform des Kosinus

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Philodoof Auf diesen Beitrag antworten »
Bruch- und Wurzelform des Kosinus
"Schreiben Sie cos in Form eines Ausdrucks, der nur rationale Zahlen und Wurzeln enthält."

Das habe ich als erstes mal umgeformt zu cos. Dann sind ja 180° genau ein . Also entspricht das Fünftel 36°.

Dann kam mir zuerst die Tabelle in den Sinn, die wir in der Schule mal hatten. Allerdings hatten wir da natürlich nicht cos(36°). Das nächstkleinere war cos(30°) und das war . Das nächstgrößere war cos(45°) mit . Dadurch weiß ich zumindest schonmal, dass < x < . Ob das zu Wissen hier wirklich was bringt, weiß ich nicht.^^

Dann habe ich noch eine Skizze gezeichnet mit den Winkel 36°, 54° und 90°, das hat mich aber ebenso wenig weitergebracht, wie die Erweiterung dessen auf den Einheitskreis mit also der Hypotenuse = 1. Ja und nun steh ich hier, ich armer Tor und bin so klug als wie zuvor. Augenzwinkern Hammer
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

In welchem Zusammenhang ist diese Aufgabe gestellt? Geometrie? Komplexe Zahlen? Additionstheoreme?
Je nachdem, kann man nämlich ganz verschiedene Lösungswege einschlagen.
Philodoof Auf diesen Beitrag antworten »

Es steht nicht da auf welche Art und Weise wir es lösen sollen. Das bedeutet normalerweise, dass wir alles benutzen dürfen, was wir bereits hatten und als bekannt gilt. Auch das darüberhinausgehende dürfte man theoretisch verwenden, jedoch müsste man dann da wiederum alle Formeln, Lemmas etc beweisen, daher ist es sinnvoller im bisherigen Rahmen zu bleiben.

Komplexe Zahlen haben wir erst kürzlich eingeführt. Daher ist es wohl wahrscheinlicher, in den anderen Bereichen das Handwerkszeug kennen zu können. Geometrisch lässt es sich ferner sicher schwerer über das Medium Internet zeigen, das heißt, ich denke die Additionstheoreme wären wohl die beste Variante. Wie kann man denn das Additionstheorem der Kosinusfunktion hier anwenden? Wir haben ja keine Form cos (x + y).
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Sagt dir das Thema "Regelmäßiges 5-Eck" oder "Goldener Schnitt" etwas?
Philodoof Auf diesen Beitrag antworten »

Hatte es nicht in der Schule, aber ich denke ich kann mir vorstellen was ein regelmäßiges 5-Eck ist. (Uns wurde hier übrigens vor wenigen Wochen mal die Arbeit von einem Herrn Hermes gezeigt, der eine Methode entwickelte, wie man ein regelmäßiges 65537-Eck nur mit Zirkel und Lineal zeichnen könne.^^)

Was kann das regelmäßige 5-Eck helfen?

Goldener Schnitt habe ich noch nie gehört und darunter kann ich mir dann auch nichts mehr vorstellen.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Betrachte ein gleichschenkliges Dreieck mit als Basis und einem 36°-Winkel an der Spitze. Der Kreis um durch schneide in . Berechne die Winkel in den Dreiecken , und . Du wirst erkennen, daß alle Dreiecke gleichschenklig und zwei der Dreiecke ähnlich sind. Nutze dies aus, um das Verhältnis zu bestimmen ( sei wie üblich die Länge von und die Länge von ). Dann gilt (Cosinus im rechtwinkligen Dreieck)



Und kannst du dann zum Beispiel über die bekannte Formel bestimmen.


EDIT

Oder noch einfacher: Im Dreieck die Höhe auf zeichnen. Dies zeigt: .
 
 
Philodoof Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versteh es nicht. unglücklich Vielleicht liegt es daran, dass ich so Sachen wie einen Zirkel gar nicht besitze, und bloß skizzenhaft zeichnen kann.

Mit Anwendung der Formel am Ende käme ich doch bestimmt auch wieder auf eine Dezimalzahl, die ja unerwünscht ist, oder?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst es auch ohne Zirkel zeichnen. Einen Winkelmesser wirst du doch haben? Du mußt ja nur an zwei 72°-Winkel anlegen. Und dann bei an noch einen 36°-Winkel abtragen, um zu zu kommen.
Philodoof Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, ich denke es liegt an der Formel, dass ich es nicht verstehe.

cos (x + y) ist in diesem Fall wohl cos (x + x) bzw. cos (2x) bzw. cos (2 ). Analog erklärt sich wohl auch 2 cos², aber warum -1?

Und wie soll es mich mit der Formel denn überhaupt zu verschlagen? (Diese Lösung habe ich immerhin zumindest via google gefunden, aber ohne Weg dorthin) Wenn ich die in den Taschenrechner eingebe, kommt doch wieder eine Dezimalzahl raus.
Philodoof Auf diesen Beitrag antworten »

Kann jemand anders weiterhelfen, da leopold nicht mehr online zu sein scheint?
Philodoof Auf diesen Beitrag antworten »

Kann denn niemand helfen? unglücklich
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Warum zeichnest du nicht einfach das von mir beschriebene Dreieck und untersuchst es nach meinen Vorgaben? Zunächst mußt du das Verhältnis oder seinen Kehrwert bestimmen. Dann beachte im zweiten Schritt das EDIT.
Bitte erwarte nicht, daß ich die Figur auch noch für dich zeichne. Andererseits - in der Zeit, wo du hier herumjammerst, hätte ich das wahrscheinlich schon zehnmal gezeichnet ...
Philodoof Auf diesen Beitrag antworten »

Weil

Zitat:
Original von Leopold
Du kannst es auch ohne Zirkel zeichnen. Einen Winkelmesser wirst du doch haben?.


Ich diese Frage verneinen muss. unglücklich
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