Beweis Potenzmenge und Teilmenge

01.11.2009, 16:20

Thomas89

Beweis Potenzmenge und Teilmenge

Hallo zusammen,

kann mir jemand helfen bei folgender Aufgabe?
Zeige: A ist Teilmenge von B -> P(A) ist Teilmenge von P(B).

Mein Problem ist bei der Potenzmenge. Ich weiß nicht wie man das in normalem Deutsch hinschreibt. Zur linken Seite kann ich schreiben: a ist Element von A und B. Weiter komm ich allein beim besten Willen leider nicht. unglücklich

Thx.

01.11.2009, 16:24

Mazze

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Zitat:

Ich weiß nicht wie man das in normalem Deutsch hinschreibt.

Ich bin eher der Meinung Du solltest es mathematisch Aufschreiben. Das erste und wichtigste bei dieser Aufgabe ist das ordentliche Formulieren von dem was Du hast, und dem was Du willst. Das hast Du :

$\begin{eqnarray*} A \subset B \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} x \in A \Rightarrow x \in B \end{eqnarray*}$

Das willst Du :

$\begin{eqnarray*} P(A) \subset P(B) \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} M \in P(A) \Rightarrow M \in P(B) \end{eqnarray*}$

Beweistechnisch gehst Du das also so an. Sei $\begin{eqnarray*} M \in P(A) \end{eqnarray*}$ dann gilt

$\begin{eqnarray*} x \in M \Rightarrow x \in A \end{eqnarray*}$ (Warum ist das so? Begründen!)

Wenn Dir die Begründung dafür klar wird, wird dir auch sofort klar warum dann auch $\begin{eqnarray*} M \in P(B) \end{eqnarray*}$ ist, und dann bist Du auch schon fertig.

01.11.2009, 16:36

Thomas89

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Wenn M in P(A) liegt und x in M liegt, dann ist x auch in A, da x ja in M ist und M in P(A) enthalten ist und P(A) die Menge aller Teilmengen von A ist. Mathematisch aufschreiben kann ich das leider noch nicht. Hab erst 2 Wochen Uni hinter mir. unglücklich

01.11.2009, 17:38

Mazze

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Zitat:

Wenn M in P(A) liegt und x in M liegt, dann ist x auch in A, da x ja in M ist und M in P(A) enthalten ist und P(A) die Menge aller Teilmengen von A ist.

Das ist richtig. Bringt uns aber nicht weiter. Wir wissen das x in A liegt, wie du richtig gesagt hast, und wir wissen das A eine Teilmenge von B ist, wo ist x also noch drin?

01.11.2009, 23:20

Thomas89

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In B?

02.11.2009, 08:41

Mazze

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Zitat:

In B?

Wieso formulierst Du das als Frage? Wir wissen das $\begin{eqnarray*} A \subset B \end{eqnarray*}$ , also immer wenn $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ ist, ist auch $\begin{eqnarray*} x \in B \end{eqnarray*}$ . Das ist die Definition der Teilmenge. Insgesamt heisst das :

$\begin{eqnarray*} x \in M \Rightarrow x \in A \Rightarrow x \in B \end{eqnarray*}$

und damit

$\begin{eqnarray*} x \in M \Rightarrow x \in B \end{eqnarray*}$

was heisst das jetzt für die Aufgabe? Augenzwinkern

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