Vollständige Induktion

01.11.2009, 19:55

Cyberman

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Vollständige Induktion

Ich habe das Prinzip glaube ich noch nicht richtig verstanden x_x

Beweisen Sie die folgenden Aussagen mittels vollständiger Induktion:

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^n~\left(2j-1\right)^{2} = \frac{n}{3}\left(4n^{2}-1\right) \end{eqnarray*}$ für alle n $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

IA n=1

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^1~\left(2*1-1\right)^{2} = \frac{1}{3}\left(4*1^{2}-1\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 1 = 1 \end{eqnarray*}$

IV ( # - IV wird eingesetzt)

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^n~\left(2j-1\right)^{2} = \frac{n}{3}\left(4n^{2}-1\right) \end{eqnarray*}$

IS ( Schluss von n => n+1 )

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^{n+1}~\left(2j-1\right)^{2} = \sum_{j=1}^n~\left(2j-1\right)^{2} + \left(2*(n+1)-1\right)^2 = \end{eqnarray*}$ # $\begin{eqnarray*} \frac{n}{3}\left(4n^{2}-1\right) + \left(2*(n+1)-1\right)^2 \end{eqnarray*}$

und ab hier komme ich leider nicht weiter x_x Was wäre der nächste Schritt ?

01.11.2009, 20:00

IfindU

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Würd sagen rechts ausmutliplizieren und links 3.binomische Formel, sollte das ganze schon bisschen verkomplizieren Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.11.2009, 20:10

Cyberman

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$\begin{eqnarray*} = \frac{4n^3-n}{3} + \left(2n+2-1\right)^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{4n^3-n}{3} + \left(2n+1\right)^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{4n^3-n}{3} + \left(2n^2+4n+1\right) \end{eqnarray*}$

hm so? ist zwar nicht links und rechts und auch nicht die 3.bin. aber alles andere erscheint mir merkwürdig?

01.11.2009, 20:17

IfindU

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Links solltest du es nicht ausmultiplizieren, sondern die dritte Binomische Formel anwenden.

01.11.2009, 20:28

Cyberman

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okay jetzt habe ich die 3.bin auch entdeckt x_x
okay neuer Versuch:

$\begin{eqnarray*} = \frac{n}{3} \left(4n^2-1^2\right) + \left(2n+2-1\right)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{n}{3} \left(2n+1\right)\left(2n-1\right) + \left(2n+1\right)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{n}{3} \left(2n+1\right)\left(2n-1\right) + \left(4n^2+4n+1\right) \end{eqnarray*}$

PS: Verbessert

01.11.2009, 20:32

IfindU

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Die Wurzel von 4 ist nicht 4. Und rechts hast du aus 2*2 = 2 gemacht. Bisschen mehr Konzentration bitte.

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01.11.2009, 20:49

Cyberman

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als nächstes mit 3/3 erweitern um auf einen Nenner zu kommen? aber,
meine Frage ist eigentlich, was muss am ende dastehen, damit die Induktion bewiesen ist?

01.11.2009, 20:53

IfindU

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RE: Vollständige Induktion
$\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{3}\left(4(n+1)^{2}-1\right) \end{eqnarray*}$ würde sich gut machen.

01.11.2009, 21:24

Cyberman

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$\begin{eqnarray*} = \frac{n}{3} \left(2n+1\right)\left(2n-1\right) + \left(4n^2+4n+1\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{n}{3} \left(2n+1\right)\left(2n-1\right) + \frac{3\left(4n^2+4n+1\right)}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \left(\frac{2n^2+n}{3}\right) \left(\frac{2n^2-n}{3}\right) + \frac{\left(12n^2+12n+3\right)}{3} \end{eqnarray*}$

nur wie daraus am ende

$\begin{eqnarray*} = \frac{n+1}{3}\left(4n^2+8n+3\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{n+1}{3}\left(4(n^2+2n+1)-1\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{n+1}{3}\left(4(n+1)^2-1\right) \end{eqnarray*}$

rauskommen soll ist mir ein Rätsel

01.11.2009, 21:25

IfindU

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$\begin{eqnarray*} = \frac{n}{3} \left(2n+1\right)\left(2n-1\right) + \left(2n+1\right)^2 \end{eqnarray*}$

Mutliplizier da mal nicht weiter aus, sondern klammer 2n+1 mal aus.

01.11.2009, 21:30

Cyberman

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$\begin{eqnarray*} = \frac{n}{3} \left(2n+1\right)\left(2n-1\right) + \left(2n+1\right)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{n}{3} \left(2n+1\right)\left(2n-1\right) + \left(2n+1\right)\left(2n+1\right) \end{eqnarray*}$

01.11.2009, 21:37

IfindU

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Da fehlt noch das Ausklammern, also das anwenden des Distributivgesetzes.

01.11.2009, 21:41

Cyberman

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Zitat:

Original von IfindU
Da fehlt noch das Ausklammern, also das anwenden des Distributivgesetzes.

die $\begin{eqnarray*} \frac{n}{3} \end{eqnarray*}$ verwirren mich x_x

$\begin{eqnarray*} = \frac{n}{3} \left(2n+1\right)\left(2n-1\right) + \left(2n+1\right)\left(2n+1\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{n}{3} \left(2n+1\right) ( \left(2n-1\right)+\left(2n+1\right) ) \end{eqnarray*}$

so?

01.11.2009, 22:00

Cyberman

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$\begin{eqnarray*} = \frac{n}{3} \left(2n+1\right) ( \left(2n-1\right)+\left(2n+1\right) ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{n}{3} \left(2n+1\right) \left(4n\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{n}{3} \left(8n^2+4n\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{n}{3} * \frac{3\left(8n^2+4n\right)}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{n}{3} * \frac{\left(24n^2+12n\right)}{3} \end{eqnarray*}$

01.11.2009, 22:03

IfindU

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$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{3} \left(2n+1\right) ( n\left(2n-1\right)+3\left(2n+1\right) ) \end{eqnarray*}$

müsste es richtig heißen, wie du dich leicht überzeugen kannst - erstmal den rechten Bruch mit 3 erweitern und das n gehört nicht beiden an, also muss es so heißen.

01.11.2009, 22:17

Cyberman

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ich werde jetzt ersteinmal eine Nacht drüber Schlafen - vielen dank soweit für deine Hilfe - ich werde mich morgen Nachmittag nocheinmal dran setzen.

02.11.2009, 20:15

Cyberman

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also ich war hängen geblieben beim Schritt von:

$\begin{eqnarray*} = \frac{n}{3} \left(2n+1\right)\left(2n-1\right) + \left(2n+1\right)\left(2n+1\right) \end{eqnarray*}$

auf

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{3} \left(2n+1\right) ( n\left(2n-1\right)+3\left(2n+1\right) ) \end{eqnarray*}$

müßte es nicht

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{3} \left(2n^2+1\right) ( n\left(2n-1\right)+3\left(2n+1\right) ) \end{eqnarray*}$

heißen? ich bin leicht verwirrt traurig

traurig

02.11.2009, 20:19

IfindU

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Woher zauberst du denn das Quadrat her?

02.11.2009, 20:24

Cyberman

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$\begin{eqnarray*} = \frac{n}{3} \left(2n+1\right)\left(2n-1\right) + \left(2n+1\right)\left(2n+1\right) \end{eqnarray*}$

rechts mit 3/3 erweitern und links in den Bruch rein

$\begin{eqnarray*} = \left(\frac{n\left(2n+1\right)}{3} \right)\left(\frac{n\left(2n-1\right)}{3}\right) + \left(\frac{3\left(2n+1\right)}{3}\right)\left(\frac{3\left(2n+1\right)}{3}\right) \end{eqnarray*}$

02.11.2009, 20:38

IfindU

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Das kann man bei Summen machen aber:
$\begin{eqnarray*} 2(a+1)(b+1) \neq (2a+2)(2b+2) = 2(a+1)2(b+1) = 4(a+1)(b+1) \end{eqnarray*}$

02.11.2009, 20:55

Cyberman

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$\begin{eqnarray*} = \frac{n}{3} \left(2n+1\right)\left(2n-1\right) + \left(2n+1\right)\left(2n+1\right) \end{eqnarray*}$

auf

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{3} \left(2n+1\right) ( n\left(2n-1\right)+3\left(2n+1\right) ) \end{eqnarray*}$

verstehe ich immernochnicht x_x wohin verschwindet das n aus $\begin{eqnarray*} \frac{n}{3} \end{eqnarray*}$

02.11.2009, 22:29

IfindU

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$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{3} \left(2n+1\right) ( \underbrace{n}_{\text{Gesuchtes n}}\left(2n-1\right)+3\left(2n+1\right) ) \end{eqnarray*}$

Dort ist es, vlt hilft es dir wenn man vorher links von $\begin{eqnarray*} n(2n+1)(2n-1) = (2n^2+n)(2n-1) \end{eqnarray*}$ umschreibt.

02.11.2009, 22:46

Cyberman

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ja das Hilft mir sehr smile

smile

- danke den Schritt verstehe ich nun auch

aber wie man von

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{3} \left(2n+1\right) ( n\left(2n-1\right)+3\left(2n+1\right) ) \end{eqnarray*}$

jetzt auf

$\begin{eqnarray*} = \frac{n+1}{3} \left(4(n+1\right)^2-1 \end{eqnarray*}$

kommt. ist mir immernoch ein Mysterium - zumal wie soll man von alleine auf die ganzen Umformungen kommen - da gehört bestimmt sehr sehr viel Erfahrung und irgend so ein "Blick" dazu.

02.11.2009, 23:47

_t

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hi,

lös den 2ten teil vollständig auf.

$\begin{eqnarray*} (n(2n-1)+3(2n+1)) \end{eqnarray*}$

grüße

_t

03.11.2009, 00:35

Cyberman

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Zitat:

Original von _t
lös den 2ten teil vollständig auf.

$\begin{eqnarray*} (n(2n-1)+3(2n+1)) \end{eqnarray*}$

_t

$\begin{eqnarray*} (2n^2+5n+3) \end{eqnarray*}$

03.11.2009, 00:37

_t

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genau, dann folgt :

$\begin{eqnarray*} (2n^2+5n+3)= (2n+3)(n+1) \end{eqnarray*}$ smile

smile

grüße

_t

ps: der rest sollte dann machbar sein.

03.11.2009, 00:52

Cyberman

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$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{3} \left(2n+1\right) ( n\left(2n-1\right)+3\left(2n+1\right) ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{3} \left(2n+1\right) ( 2n^2+5n+3 ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{3} \left(2n+1\right) (2n+3) (n+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{n+1}{3} \left(2n+1\right) (2n+3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{n+1}{3} \left(4n^2+8n+3\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{n+1}{3} \left(4(n^2+2n+1\right)-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{n+1}{3} \left(4(n+1\right)^2-1 \end{eqnarray*}$

q.e.d.

Was ein Kampf !!! - Vielen Dank an ALLE - ich hoffe ich werde mit der Zeit auch etwas besser verwirrt

verwirrt

Ich habe viel gelernt und kann jetzt SEHR zufrieden schlafen gehen - Des weiteren noch eine gute Nachtruhe Willkommen

Willkommen

03.11.2009, 00:58

_t

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viel spass und erfolg beim üben. (besonders die binomischen formen)

gute nacht und grüße

_t

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