Alle Householdermatrizen einer best. Form

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schmouk Auf diesen Beitrag antworten »
Alle Householdermatrizen einer best. Form
Hi,


ich steh mal wieder auf dem Schlauch...


Aufgabe: Bestimmen Sie alle 3x3 Householder Matrizen der Form

Es gilt für Householdermatrizen

mit und



Da die HH-Matrix Symmetrisch und Orthogonal ist, gilt

und so muss sein






Wegen den diadischen Produkt



Dann ist

Woraus folgt, dass die gesamte 3. Spalte und Zeile gleich 0 ist.

Weiter ist .

Fehlt nur noch und .

Mehrere weitere Argumentationsrichtungen haben allerdings immer zur Unlösbarkeit geführt. z.B. wenn ich ausnutze dass bei einer orthogonalen Matrix das skalarprodukt zweier zeilen vektoren = 0 ist bekomme ich einen widerspruch, falls (wie in unseren fällen vorausgesetzt) die h normiert ist.

Auch falls ich mit genaugenommen

und

die orthogonalität der Matrix ausnutze

komme ich auf

und dann ist, falls die Gleichung für alle erfüllt und umgekehrt.

Dann ist aber gerade wenn und umgekehrt.

Das kann nicht sein, wegen .

Ist die Lösung tatsächlich, dass es keine gibt, oder übersehe ich irgendwas?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Alle Householdermatrizen einer best. Form
1. Ich würde das h anders notieren. Üblicherweise verwendet man Spaltenvektoren. [WS] Lineare Gleichungssysteme 2 - direkte Verfahren

2. Bis auf die (*) Schreibweise ist das nur die Definition einer Householder-Matrix. Orthogonalität folgt damit. Ich würde aber nur mit diesen beiden Defintionseigenschaften arbeiten

- Dyadisches Produkt aufstellen =>
- Es ergeben sich 2 Gleichungen für . Diese führen auf eine Quadratische Gleichung (nach Substitution) und imho sind deren Lösung dann die "Vielfalt", nach der hier gefragt wird
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