Alle Householdermatrizen einer best. Form |
01.11.2009, 23:57 | schmouk | Auf diesen Beitrag antworten » |
Alle Householdermatrizen einer best. Form ich steh mal wieder auf dem Schlauch... Aufgabe: Bestimmen Sie alle 3x3 Householder Matrizen der Form Es gilt für Householdermatrizen mit und Da die HH-Matrix Symmetrisch und Orthogonal ist, gilt und so muss sein Wegen den diadischen Produkt Dann ist Woraus folgt, dass die gesamte 3. Spalte und Zeile gleich 0 ist. Weiter ist . Fehlt nur noch und . Mehrere weitere Argumentationsrichtungen haben allerdings immer zur Unlösbarkeit geführt. z.B. wenn ich ausnutze dass bei einer orthogonalen Matrix das skalarprodukt zweier zeilen vektoren = 0 ist bekomme ich einen widerspruch, falls (wie in unseren fällen vorausgesetzt) die h normiert ist. Auch falls ich mit genaugenommen und die orthogonalität der Matrix ausnutze komme ich auf und dann ist, falls die Gleichung für alle erfüllt und umgekehrt. Dann ist aber gerade wenn und umgekehrt. Das kann nicht sein, wegen . Ist die Lösung tatsächlich, dass es keine gibt, oder übersehe ich irgendwas? |
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02.11.2009, 13:21 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » |
RE: Alle Householdermatrizen einer best. Form 1. Ich würde das h anders notieren. Üblicherweise verwendet man Spaltenvektoren. [WS] Lineare Gleichungssysteme 2 - direkte Verfahren 2. Bis auf die (*) Schreibweise ist das nur die Definition einer Householder-Matrix. Orthogonalität folgt damit. Ich würde aber nur mit diesen beiden Defintionseigenschaften arbeiten - Dyadisches Produkt aufstellen => - Es ergeben sich 2 Gleichungen für . Diese führen auf eine Quadratische Gleichung (nach Substitution) und imho sind deren Lösung dann die "Vielfalt", nach der hier gefragt wird |
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