Schreibweise aller Punkte

02.11.2009, 11:38

tobbsen

Schreibweise aller Punkte

Moinsen zusammen,

würde gerne eure Hilfe in Anspruch nehmen Wink

Aaaalso, ich hab 4 Mengen, sagen wir $\begin{eqnarray*} A, B, C \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ .

Wie wird nun die Menge aller Punkte geschrieben die in gar keinem oder in allen vier Mengen liegen?

Meine Idee: $\begin{eqnarray*} \bigcup = \left\{x \in (A \cap B \cap C \cap D) \ oder\ x \notin(A \cap B \cap C \cap D) \right\} \end{eqnarray*}$
Stimmt das so? Kommt mir irgendwie zu einfach vor...

Und dann noch eine kurze Frage zu Mengenverknüpfungen:

$\begin{eqnarray*} (B \diagdown C) \cup (B \diagdown D) = B \diagdown (C \cap D) \end{eqnarray*}$ ist das die DeMorgan'sche Regel?

Herzlichsten Dank schonmal im vorhinein Mit Zunge

02.11.2009, 21:13

Abakus

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RE: Schreibweise aller Punkte

Zitat:

Original von tobbsen
Aaaalso, ich hab 4 Mengen, sagen wir $\begin{eqnarray*} A, B, C \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ .

Wie wird nun die Menge aller Punkte geschrieben die in gar keinem oder in allen vier Mengen liegen?

Meine Idee: $\begin{eqnarray*} \bigcup = \left\{x \in (A \cap B \cap C \cap D) \ oder\ x \notin(A \cap B \cap C \cap D) \right\} \end{eqnarray*}$
Stimmt das so? Kommt mir irgendwie zu einfach vor...

Das wäre die Gesamtmenge, wobei deine Schreibweise zudem fragwürdig ist (du kennst sicher die Mengenschreibweise?). Die Elemente, die in allen 4 Mengen liegen, liegen im Durchschnitt aller dieser 4, soweit ok. Das Andere überleg nochmal.

Zitat:

Und dann noch eine kurze Frage zu Mengenverknüpfungen:

$\begin{eqnarray*} (B \diagdown C) \cup (B \diagdown D) = B \diagdown (C \cap D) \end{eqnarray*}$ ist das die DeMorgan'sche Regel?

vergleiche hier: DeMorganRegeln (Wiki)

Grüße Abakus smile

02.11.2009, 22:18

tobbsen

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$\begin{eqnarray*} \bigcup = \left\{x|x \in (A \cap B \cap C \cap D) \ oder\ x \notin(A \cup B \cup C \cup D) \right\} \end{eqnarray*}$

das ist doch so jetzt ne Mengenschreibweise oder? verwirrt

Zum 2.:
Hmm, sieht zumindest, soweit ich das da verstanden habe, bei der Aussagenlogik so ähnlich aus...
Aber gilt das auch hier für die Mengen?

02.11.2009, 22:49

Jacques

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Zitat:

Original von tobbsen

$\begin{eqnarray*} \bigcup = \left\{x|x \in (A \cap B \cap C \cap D) \ oder\ x \notin(A \cup B \cup C \cup D) \right\} \end{eqnarray*}$

das ist doch so jetzt ne Mengenschreibweise oder? verwirrt

Es ist rein formal eine Mengenschreibweise, aber die Definition ergibt keinen Sinn: Wenn ein Element schon dann in der Menge liegt, wenn es kein Element von A U B U C ist, dann hat die Menge unbegrenzt viele Elemente. Eben alle Objekte, die außerhalb von A U B U C liegen.

Für die Vereinigung und den Durchschnitt von endlich vielen Mengen gibt es auch schon fertige Schreibweisen, wobei man die beteiligten Mengen mit Indizes durchnumerieren muss:

Sind Mengen M1, M2, ..., Mn gegeben, schreibt man den Durchschnitt aller dieser Mengen als

$\begin{eqnarray*} \bigcap_{i = 1}^n M_i \end{eqnarray*}$

und die Vereinigung als

$\begin{eqnarray*} \bigcup_{i = 1}^n M_i \end{eqnarray*}$

Oder wenn die Menge der Indizes nicht {1, 2, ..., n} sein soll, sondern allgemeiner oder sogar unendlich:

$\begin{eqnarray*} \bigcap_{i \in \Lambda} M_i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \bigcup_{i \in \Lambda} M_i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Lambda \end{eqnarray*}$ ist die Indexmenge.

Natürlich kann man auch eigene Zeichen definieren, aber Deine Schreibweise wäre aus zwei Gründen nicht gut: Sie „kollidiert“ mit der üblichen Bedeutung des großen „U“ als Operatorzeichen. Und sie ist formal nicht sinnvoll, denn willst Du alle Vereinigungen aus drei Mengen pauschal mit einem großen U bezeichnen? Das würde ja nicht viel Sinn ergeben, wenn man die beteiligten Mengen gar nicht mehr ablesen kann.

02.11.2009, 23:27

tobbsen

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Das verwirrt mich alles noch viel mehr...

Ich muss ja die Menge aller Punkte, die in gar keinem oder in allen vier Mengen liegen, beschreiben!

$\begin{eqnarray*} x \in (A \cap B \cap C \cap D) \end{eqnarray*}$ -> liegt in allen 4 Mengen oder?

$\begin{eqnarray*} x \notin(A \cup B \cup C \cup D) \end{eqnarray*}$ -> liegt in keiner der 4 Mengen?

Oder interpretier ich da jetzt was falsch?

02.11.2009, 23:37

Jacques

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Sorry, ich hätte genauer lesen müssen, ich dachte wegen des U, es geht allgemein um Schnitt und Vereinigung. Ups

Die Schreibweise oder auch die Aufgabe ergibt trotzdem keinen Sinn, denn wenn man tatsächlich alle Elementen außerhalb von A U B U C zusammenfassen will, muss es irgendeine Grenze geben, d. h. eine Grundmenge, in der man sich bewegt. Welche Objekte soll man sonst betrachten?

02.11.2009, 23:44

tobbsen

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hmm ok,

mal angenommen A,B,C und D seien Teilmengen von M.

wie wäre es dann?

02.11.2009, 23:49

Jacques

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Das wäre

$\begin{eqnarray*} (A \cap B \cap C \cap D) \cup (M \setminus (A \cup B \cup C \cup D)) \end{eqnarray*}$

03.11.2009, 00:01

tobbsen

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wie, und das ist jetzt eine Mengenschreibweise? Augenzwinkern

03.11.2009, 00:06

Jacques

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Ja. Oder soll die Menge in beschreibender Form angegen werden?

$\begin{eqnarray*} \{ x \in M \,|\, x \in A \cap B \cap C \cap D \vee x \notin A \cup B \cup C \cup D \} \end{eqnarray*}$

Beachte das $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ am Anfang: Ohne diese Einschränkung ergibt die Definition keinen Sinn! Deswegen auch der Einwand vorher.

03.11.2009, 00:29

tobbsen

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Ok, vielen vielen Dank für deine Hilfe Mit Zunge

03.11.2009, 00:40

Jacques

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Kein Problem. Sorry nochmal, dass es durch mich umständlicher als nötig geworden ist.

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