Darstellungsmatrizen

02.11.2009, 15:10

Thomas89

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Darstellungsmatrizen

Hallo miteinander! smile

smile

Ich habe folgende Abbildung gegeben:

$\begin{eqnarray*} f: R^2 \rightarrow R^2 , \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} 2x - y \\ x + y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und die Basen $\begin{eqnarray*} A = \{ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 2 \\3 \end{pmatrix} \} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B = \{ \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} \} \end{eqnarray*}$

Zu berechnen wären jetzt die Darstellungsmatrizen $\begin{eqnarray*} M^A_A(f) , M^B_A(f) , M^B_B(f) \end{eqnarray*}$

Wie geht man hier genau vor?
In Büchern und im Internet habe ich zwar Beispiele gefunden, sie sind jedoch wenig vergleichbar - leider.
Deshalb wäre ich um jede Hilfe sehr dankbar.

02.11.2009, 15:35

tigerbine

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RE: Darstellungsmatrizen
[Artikel] Basiswechsel

Ich habe das mal für die Standardbasis und A gemacht. Du musst das dann auf deine anderen Fälle übertragen.

code:

1:
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Basiswechsel
 
Für eine lin. Abb. F: V->W werden Basiswechsel berechnet
 
Lin. Abb. zwischen V->W eingeben
 
             M1            
     B1 ----------> B1     
     /\             /\     
     |               |     
V    S               T    W
     |               |     
     |               |     
     B2 ----------> B2     
             M2            
 
Dimension von V: n= 2
Dimension von W: m= 2
 
Koordinaten der Basis 2 von V bzgl. der Basis 1 eingeben: 
Vektor 1: [1,2]
Vektor 2: [2,3]
 
Koordinaten der Basis 2 von W bzgl. der Basis 1 eingeben: 
Vektor 1: [1,2]
Vektor 2: [2,3]
 
M bzgl. Basis 1 oder Basis 2? 1
 
M = [2,-1;1,1]
 
y=(TI*M1*S)x=M2x
S =
     1     2
     2     3
M1 =
     2    -1
     1     1
TI =
    -3     2
     2    -1
M2 =
     6     7
    -3    -3

03.11.2009, 00:26

Thomas89

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RE: Darstellungsmatrizen
Super, vielen Dank!
Ich schaue mir das morgen an und melde mich bei Fragen smile

smile

03.11.2009, 15:12

Thomas89

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RE: Darstellungsmatrizen
Guuut...da gäbe es schon 1, 2 Fragen:

Und zwar:

1) Das S wäre doch $\begin{eqnarray*} M^B_A(id_v) \end{eqnarray*}$ in deinem Beispiel. Das ist aber nicht gleich meinem gesuchten $\begin{eqnarray*} M^B_a(f) \end{eqnarray*}$ , wenn ich das richtig verstehe, oder?

--> kann man den Code nicht so ändern, dass er sozusagen anwendbar ist auf meine Aufgabe?

2) ...eben, es steckt ja ein Programmcode dahinter - wie bzw. mit welchem Programm lässt sich der ausführen?
(eclipse?)

03.11.2009, 15:16

tigerbine

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RE: Darstellungsmatrizen
Zu berechnen wären jetzt die Darstellungsmatrizen $\begin{eqnarray*} M^A_A(f) , M^B_A(f) , M^B_B(f) \end{eqnarray*}$

Ich habe, wie ich schon sagte: $\begin{eqnarray*} M^A_A(f) \end{eqnarray*}$ berechnet. Wie habe ich das gemacht? Mit dem Diagramm [also M2 wurde berechnet]

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10: 11: 12: 13: 14:	Lin. Abb. zwischen V->W eingeben M1 B1 ----------> B1 /\ /\ \| \| V S T W \| \| \| \| B2 ----------> B2 M2 Dimension von V: n= 2 Dimension von W: m= 2

Dazu brauche ich:
Die beiden Basen. Eine Matrix, die f darstellt. Die Matrix habe ich mir aus der Funktionsvorschrift und den Bildern der Standardeinheitsvektoren gemacht. Damit kann ich die Aufgabe lösen. Wie das geht, steht in dem Workshop. Das Programm habe ich selbst geschrieben - matlab routine - das kann man im Workshop auch runterladen.

S und T sind Matrizen, die Koordinatensysteme tauschen. Das sind nur Hilfsmittel auf dem Weg zu der gesuchten Matrix M2, die f bzgl. bestimmter Basen (Koordinatensysteme) darstellt.

03.11.2009, 15:40

Thomas89

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RE: Darstellungsmatrizen
Ahh..jetzt versteh ich =)
Wir haben in der VL eben eine ganz ähnliche Figur gezeichnet, jedoch andere Bezeichnungen verwendet.

Nun gut - das heisst, wenn ich $\begin{eqnarray*} M^B_A(f) \end{eqnarray*}$ wollte, so müsste ich die folgenden Zeilen wie folgt ändern:

Koordinaten der Basis 2 von W bzgl. der Basis 1 eingeben:
Vektor 1: [1,-1]
Vektor 2: [4,2]

und wenn ich $\begin{eqnarray*} M^B_B(f) \end{eqnarray*}$ wollte, müsste ich folgende Zeilen wie folgt ändern:

Koordinaten der Basis 2 von V bzgl. der Basis 1 eingeben:
Vektor 1: [1,-1]
Vektor 2: [4,2]

Koordinaten der Basis 2 von W bzgl. der Basis 1 eingeben:
Vektor 1: [1,-1]
Vektor 2: [4,2]

und dann M2 ablesen.

..und S wäre dann (zB bei $\begin{eqnarray*} M^B_B(f) \end{eqnarray*}$ ) die Matrix $\begin{eqnarray*} U \in Gl(n, \mathbb R ) \end{eqnarray*}$ , für die $\begin{eqnarray*} M^B_B = U^{-1}M^A_AU \end{eqnarray*}$ gilt, nicht wahr?

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03.11.2009, 15:55

tigerbine

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RE: Darstellungsmatrizen
Zweiter Fall ist korrekt.

Beim ersten musst du 2 Verschiedene Basen angeben. Erst A (wie ich) (V) dann B (wie du) in W

04.11.2009, 13:31

Thomas89

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RE: Darstellungsmatrizen
Supi =)

Also, dann habe ich folgendes:

$\begin{eqnarray*} M^B_A(f) = \begin{pmatrix} -2 & -3 \\ 0.5 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} M^B_B(f) = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0.5 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Stimmt das?

..stimmt auch meine letzte Bemerkung?
(dass S die Matrix U Element Gl(n,R) ist, für die M^B_B = U^-1M^A_AU gilt?

Herzlichen Dank für deine Hilfe!

04.11.2009, 17:15

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Darstellungsmatrizen
BB

code:

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ür eine lin. Abb. F: V->W werden Basiswechsel berechnet
 
Lin. Abb. zwischen V->W eingeben
 
             M1            
     B1 ----------> B1     
     /\             /\     
     |               |     
V    S               T    W
     |               |     
     |               |     
     B2 ----------> B2     
             M2            
 
Dimension von V: n= 2
Dimension von W: m= 2
 
Koordinaten der Basis 2 von V bzgl. der Basis 1 eingeben: 
Vektor 1: [1,-1]
Vektor 2: [4,2]
 
Koordinaten der Basis 2 von W bzgl. der Basis 1 eingeben: 
Vektor 1: [1,-1
]
Vektor 2: [4,2
]
 
M bzgl. Basis 1 oder Basis 2? 1
 
M = [2,-1;1,1]
 
y=(TI*M1*S)x=M2x
S =
     1     4
    -1     2
M1 =
     2    -1
     1     1
TI =
    0.3333   -0.6667
    0.1667    0.1667
M2 =
    1.0000   -2.0000
    0.5000    2.0000

AB

code:

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Für eine lin. Abb. F: V->W werden Basiswechsel berechnet
 
Lin. Abb. zwischen V->W eingeben
 
             M1            
     B1 ----------> B1     
     /\             /\     
     |               |     
V    S               T    W
     |               |     
     |               |     
     B2 ----------> B2     
             M2            
 
Dimension von V: n= 2
Dimension von W: m= 2
 
Koordinaten der Basis 2 von V bzgl. der Basis 1 eingeben: 
Vektor 1: [1,2]
Vektor 2: [2,3]
 
Koordinaten der Basis 2 von W bzgl. der Basis 1 eingeben: 
Vektor 1: [1,-1]
Vektor 2: [4,2]
 
M bzgl. Basis 1 oder Basis 2? 1
 
M = [2,-1;1,1]
 
y=(TI*M1*S)x=M2x
S =
     1     2
     2     3
M1 =
     2    -1
     1     1
TI =
    0.3333   -0.6667
    0.1667    0.1667
M2 =
   -2.0000   -3.0000
    0.5000    1.0000

Zu deiner anderen Frage. Ich weiß nicht, was U bei dir ist. Die Matrizen für Koordinatenwechsel sind regulär. Aus dem Diagramm ergibt sich, wie man die Basiswechsel mit der Darstellungsmatrix kombinieren muss. In meinem Programm steht "I" für Inverse von S oder T.

04.11.2009, 18:43

Thomas89

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RE: Darstellungsmatrizen
U wäre einfach als M(f) definiert, also: U = M(f).

PS: Bei deinem zweiten Codefeld: Müsste dort nicht BA (statt AB) stehen?

04.11.2009, 19:01

tigerbine

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RE: Darstellungsmatrizen
Bei dem zweiten Feld habe ich genommen V mit Basis A, W mit Basis B. Hätte es andersrum sein sollen?

M(f) ist doch dann die Darstellungsmatrix. Dann stimmt das nicht.

04.11.2009, 19:12

Thomas89

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RE: Darstellungsmatrizen
Ja, M(f) ist die Darstellungsmatrix, U ist einfach Element davon.

Ja, nur meiner Meinung nach wäre das dann M^B_A(f).
(
V : Basis 1 : [1,2]
Basis 2: [2,3]

W: Basis 1: [1,-1]
Basis 2: [4,2]
)

04.11.2009, 19:19

tigerbine

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RE: Darstellungsmatrizen
Verstehe dich nicht. Ich brauch doch 2 Vektoren für eine Basis.

Basis1 V ist die Einheitsbasis. Basis 2 V ist A.

Basis1 W ist die Einheitsbasis. Basis 2 W ist B.

Dann bekommt man die Matrix $\begin{eqnarray*} M_A^B \end{eqnarray*}$

04.11.2009, 20:33

Thomas89

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RE: Darstellungsmatrizen
Ah, du meinst auch die - sorry, dann ist alles paletti! smile

smile

Ich habe gedacht, dass du die falsche Darstellungsmatrix gemeint hast, weil du AB geschrieben hast - aber wir sind uns einig smile

smile

Aber eben - was ist ist mit dem U Element Gl(n,R) gemeint? smile

smile

04.11.2009, 21:01

tigerbine

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RE: Darstellungsmatrizen
wo hast du das U denn her? verwirrt

verwirrt

04.11.2009, 21:13

Thomas89

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RE: Darstellungsmatrizen
Es steht: Berechnen Sie die Matrix $\begin{eqnarray*} U \in Gl(n, \mathbb R) \end{eqnarray*}$ , für die $\begin{eqnarray*} M^B_B = U^{-1}M^A_AU \end{eqnarray*}$ gilt.

(Gl = general linear groupe, Menge der invertierbaren Matrizen)

Desweiteren haben wir in der VL folgende "Bemerkung":
$\begin{eqnarray*} M^B_B(f) = M(f^B_B) = U^{-1}M^A_A(f)U \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} U = M(\rho) \end{eqnarray*}$
(rho ist die Abbilding von $\begin{eqnarray*} i^{-1}_A ° i_B \end{eqnarray*}$ , also der Basiswechsel)

..mehr habe ich leider nicht unglücklich

unglücklich

04.11.2009, 21:17

tigerbine

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RE: Darstellungsmatrizen
Jo, das haben wir doch schon längst gemacht. Das sind die Matrizen S und T, oder die entsprechende Inverse. Das beidemale U da steht liegt an AA. Bei AB ginge das gar nicht.

AA

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:
21:
22:
23:
24:
25:
26:
27:
28:
29:
30:
31:
32:
33:
34:
35:
36:
37:
38:
39:
40:
41:
42:
43:
44:

Basiswechsel
 
Für eine lin. Abb. F: V->W werden Basiswechsel berechnet
 
Lin. Abb. zwischen V->W eingeben
 
             M1            
     B1 ----------> B1     
     /\             /\     
     |               |     
V    S               T    W
     |               |     
     |               |     
     B2 ----------> B2     
             M2            
 
Dimension von V: n= 2
Dimension von W: m= 2
 
Koordinaten der Basis 2 von V bzgl. der Basis 1 eingeben: 
Vektor 1: [1,2]
Vektor 2: [2,3]
 
Koordinaten der Basis 2 von W bzgl. der Basis 1 eingeben: 
Vektor 1: [1,2]
Vektor 2: [2,3]
 
M bzgl. Basis 1 oder Basis 2? 1
 
M = [2,-1;1,1]
 
y=(TI*M1*S)x=M2x
S =
     1     2
     2     3
M1 =
     2    -1
     1     1
TI =
    -3     2
     2    -1
M2 =
     6     7
    -3    -3

Dabei lautet die entscheidende Zeile

code:
1:	y=(TIM1S)x=M2x

Also man kann rechnen M2 auf x anwenden oder eben den anderen Weg gehen und (TI*M1*S) auf x anwenden. S ist das U, TI U^(-1). Was natürlich hier auch s^(-1) ist.

04.11.2009, 21:25

Thomas89

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RE: Darstellungsmatrizen
Ah eben, dann habe ich den Code richtig verstanden - das gesuchte U ist bei uns das S smile

smile

Super..ich danke diir vielvielvielmals! smile

smile

04.11.2009, 21:25

tigerbine

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RE: Darstellungsmatrizen
Wink

Wink

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