Gruppenhomomorphismen surjektiv aber nicht injektiv

02.11.2009, 16:41	Lanc	Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppenhomomorphismen surjektiv aber nicht injektiv Hallo! Ich habe ein kleines Problem mit dieser Aufgabe, vielleicht hat ja jemand eine Idee und kann mir dabei weiterhelfen, das wäre super. Gesucht sind abelsche Gruppen G, H und ein dazugehöriger surjektiver Homomorphismus $\begin{eqnarray} f : G \to H \end{eqnarray}$ , sodass es keinen Homomorphismus $\begin{eqnarray} g : H \to G \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f \circ g =id_H \end{eqnarray}$ . Meine Überlegungen bisher: wenn $\begin{eqnarray} f \circ g =id_H \end{eqnarray}$ gilt, muss f surjektiv und g injektiv sein. Dh es darf keinen injektiven Hom. zurück geben. Injektiv heißt nichts anders als, dass $\begin{eqnarray} g(x) = g(y) \Rightarrow x = y \end{eqnarray}$ ist. Dh wieder, dass wenn ich 2 gleiche Bilder habe unterschiedliche Urbilder brauch um diese zu liefern. Nun stehe ich schon an. Das sind im Prinzip aber bisher nur Definition ^^. Ich wäre über jeden Hinweis dankbar. Ich will auch gar keine fertige Lösung, nur wenn jemand eine Idee hätte würde es mich freuen einen Tipp zu bekommen. Vielen Dank im Voraus Wie gewünscht verschoben. Gruß, Gualtiero
02.11.2009, 21:38	Gualtiero	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenhomomorphismen surjektiv aber nicht injektiv Ist das Hochschulmathe? Wenn ja, welches Teilgebiet?
02.11.2009, 22:51	Lanc	Auf diesen Beitrag antworten »
Ups, is mir in die falsche Abteilung gerutscht. Kann das bitte jemand verschieben? Gehört in die Algebra ^^.
02.11.2009, 22:55	DGU	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Möglichkeit ist die folgende: Wähle $\begin{eqnarray} H = \mathbb{Z} / n \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ in sinnvoller Weise und verwende, dass (bei richtiger Wahl) $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ ein Hauptidealring ist.
03.11.2009, 00:21	Lanc	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank ^^. Das Hauptringideal war wirklich ein sehr guter Tipp. Ich hab immer wieder die gleichen Gruppen ausprobiert ohne an die Eigenschaften von Idealen zu denken.
03.11.2009, 07:20	DGU	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du die fertige Lösung hast, wäre es nett diese für andere hier kurz zu posten.
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04.11.2009, 00:20	Lanc	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Lösung sieht dann so aus. Man wählt als seine Gruppen die Gruppe der ganzen Zahlen mit der Addition $\begin{eqnarray} (\mathbb Z, +) \end{eqnarray}$ und die Gruppe der Äquivalenzklassen modulo 2 $\begin{eqnarray} (\mathbb Z_2, +) \end{eqnarray}$ . Danach definiert man sich als surjektiven Homomorphismus den natürlichen Homomorphismus der jedem Element aus den ganzen Zahlen, seine Äquivalenzklasse zuordnet. $\begin{eqnarray} f: (\mathbb Z, +) \to (\mathbb Z_2, +) : x \mapsto [x]_2 \end{eqnarray}$ Nun sucht man einen Homomorphismus in die umgekehrte Richtung. Da das neutrale auf das neutrale Element abgebildet werden muss, bleibt nur mehr ein Bild von 1 zu wählen. Hier wählt man ein a. $\begin{eqnarray} g: (\mathbb Z_2, +) \to (\mathbb Z, +) : \begin{cases} [0]_2 \mapsto 0 \\ [1]_2 \mapsto a \end{cases} \end{eqnarray}$ Nun zeigt die Eigenschaft von Homomorphismen, dass $\begin{eqnarray} 0 = g(0) = g(1 + 1) = g(1) + g(1) = a + a = 2a \end{eqnarray}$ nur für den trivialen Homomorphismus gilt, für den $\begin{eqnarray} a = 0 \end{eqnarray}$ gilt. Dann ist aber $\begin{eqnarray} (f \circ g)(1) = f(g(1)) = f(0) = 0 \end{eqnarray}$ . Das widerspricht aber $\begin{eqnarray} f \circ g = id_H \end{eqnarray}$ . Bitteschön, vielleicht hilfts ja wem ^^.

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