Komplexe Gleichung

02.11.2009, 18:26	Tristram	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Gleichung Hallo, drei verschiedene Lösungen der Gleichung $\begin{eqnarray} x^3=2+11i \end{eqnarray}$ sollen ermittelt werden, wobei die Lösungen jeweils in der Form $\begin{eqnarray} r+si \end{eqnarray}$ mit reellen r und s anzugeben sind. Da ich eine derartige Aufgabe noch nie gesehen habe: Kann mir jemand beim Ansatz helfen? Bisher habe ich Komplexe Zahlen nur im Zusammenhang mit reellen quadratischen Gleichungen gesehen, bei denen der Radikand negativ wurde, da ist der Fall klar. Aber wie geht man hier ran?
02.11.2009, 18:40	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Binomische Formel für $\begin{eqnarray} x^3,x=a+bi \end{eqnarray}$ anwenden. 2. a und b aus den beiden Gleichungen für Realteil und Imaginärteil berechnen (hier: leicht zu erraten ) 3. Die drei Lösungen ergeben sich aus der einen durch Multiplikation mit den drei dritten Einheitswurzeln $\begin{eqnarray} \rho^0,\rho^1,\rho^2 \end{eqnarray}$
02.11.2009, 21:28	Tristram	Auf diesen Beitrag antworten »
Den 1. Schritt hatte ich schon, allerdings wusste ich nicht weiter. Deinen Tipp "a und b aus den beiden Gleichungen für Realteil und Imaginärteil berechnen" verstehe nicht, wie meinst du das? Wenn ich nach 1. vorgehe, erhalte ich: $\begin{eqnarray} a^3+3a^2bi-3ab^2-b^3i=2+11i \end{eqnarray}$ . Edit: Wir hatten bisher in der Vorlesung weder Einheitswurzeln noch Polarkoordinaten oder sonst was, nur die absoluten Grundlagen der komplexen Zahlen.
02.11.2009, 21:54	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du den Verdacht hast, dass eine "schöne" Lösung w=x+iy mit ganzzahligen Koordinaten x,y existieren könnte, dann überprüfe, ob $\begin{eqnarray} \|z\|^2 \end{eqnarray}$ für die gegebene Zahl z eine dritte Potenz einer ganzen Zahl ist... Wegen $\begin{eqnarray} z=2+11i \Rightarrow \|z\|^2= 125 =5^3 \end{eqnarray}$ trifft das hier tatsächlich zu und du hast dann zu den 2 Gleichungen $\begin{eqnarray} x^3-3xy^2=2, \quad 3x^2y-y^3=11 \end{eqnarray}$ noch als weitere Gleichung $\begin{eqnarray} x^2+y^2=5 \end{eqnarray}$ dazu, womit du dann die Lösung leicht errechnen und noch leichter "erraten" kannst...
03.11.2009, 19:21	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
@Tristram. Zu den absoluten Grundlagen der komplexen Zahlen gehört die eindeutige Darstellung einer komplexen Zahl $\begin{eqnarray} x=a+bi \end{eqnarray}$ mit reellen Zahlen $\begin{eqnarray} a,b \end{eqnarray}$ . Das heißt, dass du aus der Darstellung $\begin{eqnarray} (a^3-3ab^2)+(3a^2b-b)i=2+11i \end{eqnarray}$ schließen kannst auf $\begin{eqnarray} a^3-3ab^2=2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 3a^2b-b^3=11 \end{eqnarray}$ . Jetzt bitte einmal raten - d.h. a,b=0,1,-1,2,-2,... probieren - dann erkläre ich dir den 3. Schritt.

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