Quadratische Funktion mit Gerade und PQ Strecke |
| 02.11.2009, 20:59 | Mathelover | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Quadratische Funktion mit Gerade und PQ Strecke
,ich hab Probleme mit der folgenden Aufgabe. Was ist denn mit u gemeint? x=u u ist ja laut der Klammer größer als -1 und kleiner als 2. Könnt ihr mir bitte einen Tipp geben. So eine Aufgabe soll in der Arbeit dran kommen, deswegen bitte ich nur um sehr kleine Tipps, damit ich selbst drauf kommen kann
Danke im Voraus Mit freundlichen Grüßen mathelover |
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| 02.11.2009, 21:15 | Bakatan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
x=u bedeutet nichts anderes, als das der x-Wert immer gleich u ist und der y-Wert beliebig. Die Gerade ist ( edit: für einen gewissen Wert u ) rot eingezeichnet. |
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| 02.11.2009, 21:24 | Mathelover | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke für deine Antwort
Ist u der x-Wert von der Parabel oder der Geraden? |
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| 02.11.2009, 21:29 | Bakatan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was genau meinst du? x=u ist zwar keine Funktion, beschreibt allerdings trotzdem eine Gerade. Eben eine Gerade parallel zur y-Achse durch x=u bzw alle Punkte {(x,y)| x=u} Die Gerade ist wie bereits erwähnt rot eingezeichnet. Was bedeutet das für die Schnittpunkte mit Kg und der Parabel? |
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| 02.11.2009, 21:38 | Mathelover | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
"Was bedeutet das für die Schnittpunkte mit Kg und der Parabel?" Was genau meinst du damit? Man hat ja zwei Schnittpunkte, wenn man die Gerade und die Parabel gleichsetzt. Und u beschreibt die Länge von PQ. |
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| 02.11.2009, 21:41 | Bakatan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Schnittpunkte von Kg und der Parabel interessieren dich doch aber nicht. u beschreibt nicht die Länge von PQ, sondern schneidet Kg in P und die Parabel in Q. Gefragt ist doch nun nach dem Abstand der Punkte P und Q. |
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| 02.11.2009, 21:43 | Mathelover | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, also u=1 und ich soll den Abstand von PQ bestimmen. Das kann man ja ablesen. Das wäre 2. Aber geht das auch rechnerisch? |
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| 02.11.2009, 21:59 | Bakatan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nach erneutem Lesen der Aufgabe muss ich zugeben, dass sie relativ bescheuert gestellt ist. Da die Schnittpunkte super schön sind kann man den Abstand wirklich sofort aus der Zeichnung ablesen. Rechnerisch ist: und muss man aus der Zeichnung entnehmen ( was zusätzlich nicht gerade toll ist. So kann man sogar auf zwei Weisen argumentieren, wieso "aus der Zeichnung entnommen" als Lösung eigentlich gelten muss ) Die Schnittpunkte von x=u und Kg bzw Kf sind natürlich bei -u²+4 und dem dementsprechenden bei der Gerade. Jetzt rechnet man von denen die y-Werte aus und bildet die Differenz. Meines Erachtens ist aber "aus der Zeichnung entnommen: 2" die schönere Lösung 
Aber eventuell mag es der Lehrer bzw Korrektor nicht. Zur Übung der eigentlich gedachten Aufgabe könntest du den Abstand für einen nicht so "schönen" u-Wert wie z.B. für ausrechnen. |
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| 02.11.2009, 22:25 | Mathelover | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also so wie ich es verstanden habe, funktioniert es rechnerisch folgendermaßen: f(1)=-*1²+4 g(1)=-2*1+2 f(1)=4 g(1)=0 Abstand=4 richtig? Und wie soll ich begründen, dass es zwei u Werte gibt? Irgendwie komm ich garnicht klar mit dieser Aufgabe 
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| 02.11.2009, 22:34 | Bakatan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
-*1² Was soll das denn sein? Und Kg hat nicht die Gleichung -2x+2 sonst wäre g(2)=-2, soll aber nach Zeichnung 0 sein. edit: Alles nacheinander, aber für die Begründung: Denk mal drüber nach, wie sich PQ verhält. Wenn u kleiner als 1 wird kann man aus der Zeichnung ungefähr erkennen, dass PQ zuerst wächst und dann wieder fällt. Irgendwo muss es also nochmal 2 annehmen. Für den Beweis dieser anschaulichen Begründung siehe auch den Mittelwertsatz ( oder rechne als alternative Begründung den zweiten Wert aus, das ist aber gerade nicht gefragt ). |
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| 02.11.2009, 22:39 | Mathelover | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
allgemein gilt doch: f(u)=-u²+4 g(u)=-1/2u+2 ich verstehe immer noch nicht warum wir mit den Schnittpunkten arbeiten. |
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| 02.11.2009, 22:47 | Bakatan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wolltest du nicht einen rechnerischen Weg? Die Parabel ist angegeben mit , was ist die Funktionsvorschrift von ? Denn
finde ich auch nicht so toll... Wenn wir diese Beiden haben, schneiden wir sie mit der Geraden x=u, was aber keine wirkliche Rechnung erfordert, denn die Schnittpunkte kann man sofort errechnen da sie bei x=u offensichtlicher Weise liegen müssen. Das setzt man nun in die Parabel- und Geradengleichung ein um die jeweiligen y-Werte zu erhalten. Die Differenz von diesen ist die Länge von PQ. |
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| 02.11.2009, 23:03 | Mathelover | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ah hab falsch abgelesen für die Gerade gilt: g(u)=-u+2 oder? wie gehen wir jetzt weiter vor
? |
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| 02.11.2009, 23:19 | Bakatan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielleicht mit Bild? ( Paint 
Also nur ne Skizze und in schöner Paint-Qualität )[attach]11773[/attach] |
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| 02.11.2009, 23:27 | Mathelover | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Oh das ist aber sehr nett
dankeschönAlso brauchen wir doch Y1 und Y2. Das sind die Schnittpunkte der Geraden x=u mit der Kf und Kg. Wie soll man jetzt die drei miteinander gleichsetzen? |
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| 02.11.2009, 23:46 | Bakatan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da x=u bereits feststeht kann man das einfach in die jeweiligen Funktionsgleichungen einsetzen ( siehe vorherige Posts ). Bin jetzt aber schlafen
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| 03.11.2009, 19:09 | Mathelover | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sorry aber ich verstehe nicht, wie ich die Schnittpunkte mit der Geraden x=u rausbekommen soll. Wie soll ich denn f(x)=-x²+4 gleich setzten mit x=u? |
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| 03.11.2009, 19:33 | Bakatan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja x steht ja schonmal fest oder? Und f(x)=-x²+4 hat an der Stelle x=u ja nur einen Wert... |
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| 03.11.2009, 19:38 | Mathelover | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also f(1)=-(1)²+4 ? f(1)=3 (y1) g(1)=-1+2 g(1)=1 (y2) So y1-y2=2 Oder?
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| 03.11.2009, 20:04 | Mathelover | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Begründen Sie warum es zwei u-Werte gibt, sodass PQ eine Strecke mit der Länge l=2 ist. Antwort: Weil man einmal die Parabel mit der Geraden gleichsetzen muss und einmal die Gerade mit der Geraden gleichsetzen muss. Richtig? |
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| 03.11.2009, 21:12 | Bakatan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Richtig. Deine Begründung für Teil zwei ist aber nicht richtig. Als Beispiel nehme ich mal zwei Geraden: Es gibt nur einen Punkt, an denen die beiden Geraden den Abstand 0 haben! Dafür gäbe es aber zwei, bei denen der Abstand 1 ist. Der Grund, weswegen es zwei u-Werte gibt für PQ=2 hängt wie erwähnt damit zusammen, dass die Parabel sich zuerst von der Gerade entfernt und dann wieder annähert. Der Abstand wächst also zuerst und fällt dann wieder. Wenn Abstand 2 nicht gerade der maximale Abstand ist muss folglich jeden Wert mindestens einmal beim entfernen und einmal beim annähern annehmen. |
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| 03.11.2009, 21:44 | Mathelover | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
vielen Dank für deine Antwort, aber ich verstehe deine Ausdrucksweise irgendwie nicht. Wo entfernt sich die Parabel denn von der Geraden? |
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| 03.11.2009, 22:15 | Bakatan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die beiden Funktionen und ihr Abstand. Bei x=1 ist der Abstand nicht maximal und wird bei x=0 erneut erreicht. Anders ausgedrückt ist die Abstandsfunktion parabelförmig und erreicht jeden Wert bis auf das Maximum doppelt. |
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| 04.11.2009, 15:57 | Mathelover | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok ich glaube so langsam verstehe ich es. Aber wie kommst du auf die rote Parabel? |
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| 04.11.2009, 17:42 | Bakatan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
(-x²+4)-(-x+2)=-x²+x+2 Ist der Abstand in y-Richtung als Funktion. |
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| 04.11.2009, 18:16 | Mathelover | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Achsoo ok dann kann man die folgende Aufgabe so lösen: Begründen Sie warum es zwei u-Werte gibt, sodass PQ eine Strecke mit der Länge l=2 ist. Wir nehmen einfach die Funktion der roten Parabel: x²+x+2=0 und setzen sie 2 also x²+x+2=2 weil wir wollen ja wissen bei welchen x-werten die Strecke PQ eine Länge von 2 hat, richtig? |
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| 04.11.2009, 18:24 | Bakatan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
In der Aufgabe steht explizit, dass du es nicht rechnen sondern nur begründen sollst. Es ging mir nur um das prinzipielle einsehen, wieso es zwei Werte geben muss. |
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| 04.11.2009, 18:35 | Mathelover | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hmm hast recht. dass die Parabel sich zuerst von der Gerade entfernt und dann wieder annähert. Der Abstand wächst also zuerst und fällt dann wieder. Wenn Abstand 2 nicht gerade der maximale Abstand ist muss folglich jeden Wert mindestens einmal beim entfernen und einmal beim annähern annehmen. Kann man diese Aussage, etwas eifnacher formulieren? Was genau muss ich dabei betrachten? Die Fläche zwischen der blauen Gerade und der grünen Parabel? |
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| 04.11.2009, 19:44 | Bakatan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich versuche mit Absicht keine Musterlösungsartige Aussage zu formulieren, da ich dies auf dem Forum hier nicht soll und es auch eigentlich keinen Sinn ergibt, da du daraus wenig lernen würdest. Eine prinzipielle Idee für eine Begründung ist aber eben die Parabelform der Abstandsfunktion. Oder wenn man nicht einmal die Abstandsfunktion betrachten möchte die Tatsache, dass die Funktion sich zuerst entfernt und dann wieder annähert und dazwischen stetig ist. Wie genau das jetzt in einen schönen Satz gepackt wird ist deine Sache. Ebenso gibt es sicherlich nicht nur eine Methode zu argumentieren. |
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| 04.11.2009, 20:00 | Mathelover | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also gehen wir es mal langsam an. Bei x=1 hab ich ja die Länge für PQ=2. Wenn ich jetzt nach links weiter gehe → also z.B. zu x=0,5, dann wird die Länge von PQ größer oder? Wenn ich dann noch weiter gehe bis zum Schnittpunkt, also ganz links, habe ich die Länge 0, richtig. Also muss ja zwischen 1 und dem Schnittpunkt noch ein u Wert sein, damit für die Länge PQ=2 gilt. Weil bei einer normalparabel kommen die Punkte ja immer zweimal vor, oder? Wäre das ne sinnvolle Begründung? |
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| 04.11.2009, 20:27 | Bakatan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So in der Art geht eine mögliche Begründung, ja. Der mathematische Hintergrund dieser Begründung ist wie stückweise in vorigen Posts erwähnt die Stetigkeit der Funktionen und der Mittelwertsatz ( der Beweis, dass die Funktion zwischendrin nochmal den Wert 2 annehmen muss, wenn sie vorher größer/kleiner und dann kleiner/größer ist ). Das brauchst du denke ich aber nicht verwenden, da es anschaulich klar ist und du ja nur begründen sollst
( und du eventuell den Mittelwertsatz nur so grob oder gar nicht gesehen hast ) |
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| 04.11.2009, 20:37 | Mathelover | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mittelwertsatz hab ich zum ersten Mal von dir gehört
Wenn wir jetzt nun den letzten Teil machen wollen müssen wir doch einfach die Fläche zwischen Parabel und Gerade herausbekommen. Also müssen wir ja Parabelformel mit der Geradenformel subtrahieren. Und dadurch entsteht ja deine rote Parabel und wenn wir dann den Scheitelpunkt ablesen, wissen wir durch den X wert, wo die Gerade x=u auf der x-achse liegen muss und durch den Y-Wert des Scheitels erkennen wir die maximale Länge von PQ. Ist das richtig
? |
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| 04.11.2009, 20:42 | Mathelover | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Oder viel einfacher: Wir lesen die Schnittpunkte ab von Parabel und Gerade. Das wären einmal x1=-1 und x2=2 Dann setzen wir diese in folgende Formel ein: f(x)=-1 (x+1)(x-2) f(x)=-x²+x+2 Jetzt müssen wir einfach den Scheitpunkt ausrechnen und damit wäre die komplette Aufgabe gelöst. Hoffentlich hab ich es richtig verstanden
? |
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| 04.11.2009, 20:50 | Bakatan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was für eine Fläche
Deine Idee im allgemeinen stimmt aber. Die Abstandsfunktion soll ein Maximum haben.Du kannst übrigens glaube ich auch einen Trick anwenden: verschobene Normalparabeln sind symmetrisch, folglich muss der Scheitelpunkt in der Mitte der Nullpunkte liegen. Das erspart einem die Kurvendiskussion. |
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| 04.11.2009, 20:58 | Mathelover | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ahhhhh stimmt ja
Damit hätten wir 1,5 für den x Wert des Scheitels. Jetzt setzen wir einfach für x=1,5 ein und erhalten somit den Y-Wert (Punktprobe). Also f(1,5)=-2,25+1,5+2 f(1,5)=1,25 S(1,5/1,25) richtig?
Antwortsatz: Man muss für u=1,5 wählen damit man die maximale Länge von PQ 1,25 hat. |
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| 04.11.2009, 21:07 | Bakatan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Mitte von -1 und 2 ist nicht 1.5 |
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| 04.11.2009, 21:16 | Mathelover | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Doch der Mittelpunkt von -1 und 2 ist 1,5. Ich habs von der Zeichnung abgelesen. 3/2=1,5. |
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| 04.11.2009, 21:21 | Bakatan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
1.5+0.5=2; 1.5-2.5=-1; 1.5 ist also nur 0.5 von der 2 weg allerdings 2.5 von der -1. Siehe dazu auch das Bild mit der roten Parabel von meinem vorherigen Post. Der Mittelpunkt liegt eindeutig bei x=0.5 ( 0.5+1.5=2; 0.5-1.5=-1 ) |
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| 04.11.2009, 21:23 | Mathelover | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Man ich bin so blöd, sorry du hast recht Man könnte auch einfach -1+2=1 1/2=0,5 Ich möchte mich ganz herzlich bei dir bedanken, für deine Hilfe
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