Differentialgleichungssystem

29.09.2006, 01:51

Bjoern1982

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Differentialgleichungssystem

Hallo

Bei diesem DGL-System fehlt mir leider jeder Ansatz...

$\begin{eqnarray*} y_1'=-y_2+cosh(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_2'=2y_1+3y_2-e^{-x} \end{eqnarray*}$

Ich kann cosh(x) noch durch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \cdot (e^x+e^{-x}) \end{eqnarray*}$

umschreiben, aber das wars dann auch.

Hat jemand vielleicht nen Tip für mich ?

Gruß Björn

29.09.2006, 10:01

Mazze

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Das ist ein lineares Dglsystem da es die Form

$\begin{eqnarray*} y' = Ay + f \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f = \begin{pmatrix} cosh(x) \\ -e^{-x} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Lösung eines solchen Systems solltet ihr kennen. Habt ihr einen Anfangswert gegeben?

29.09.2006, 12:24

Bjoern1982

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Ach, ich hatte damals eh nur Ana 2 für Informatiker, da hatten wir uns gar nicht mit DGL-Systemen beschäftigt smile

smile

Es geht hier nur um eine Aufgabe eines Übungsblattes zur Vorbereitung auf die Ana2 Nachklausur, (an der sich ein Kollege von mir noch versuchen will) bei der ich nicht weiter weiss.

Bei DGL dieser Form wüsste ich wie ich vorgehen muss, bei einem DGL-System bin ich mir aber leider nicht sicher.

AWP lösen

---> siehe mein Post hier

29.09.2006, 12:34

Mazze

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$\begin{eqnarray*} y(x)=e^{Ax}\int_{0}^{x}~ e^{-At}f~dt + e^{Ax}y_0 \end{eqnarray*}$

Das ist die allgemeine Lösungs für das Anfangwertproblem $\begin{eqnarray*} y(0) = y_0 \end{eqnarray*}$ von LDGL-Systemen.

29.09.2006, 12:54

Bjoern1982

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Aha, dank dir smile

smile

Werd ich direkt mal durchrechnen.
AWP war übrigens nicht gegeben, man soll eben alle Lösungen des DGL-Systems angeben.

Gruß Björn

29.09.2006, 12:55

Mazze

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Zitat:

AWP war übrigens nicht gegeben, man soll eben alle Lösungen des DGL-Systems angeben.

Im Wesentlichen also abhängig von einem allgemeinen Anfangswert.

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29.09.2006, 12:58

Bjoern1982

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Äähm, wie behandelt man denn einen Vektor im Exponenten beim Integrieren? verwirrt

verwirrt

29.09.2006, 13:04

Mazze

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Es wird komponentenweise Integriert.

29.09.2006, 16:40

Bjoern1982

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Ist der Ansatz dann so ?

$\begin{eqnarray*} y_1=e^{-x}\cdot \int_{0}^{x}~e^t(e^t+e^{-t})~dt+e^{-x}y_0 \end{eqnarray*}$

29.09.2006, 16:48

Mazze

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Edit:

jetzt hab ich aber einen Fehler gemacht. Du kannst nicht einfach aus

$\begin{eqnarray*} e^{Ax} \end{eqnarray*}$

die erste Zeile nehmen und dann $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$ schreiben. Wenn A eine quadratische Matrix ist, so ist:

$\begin{eqnarray*} e^A =\sum_{k=0}^\infty~\frac{A^k}{k!} \end{eqnarray*}$

Und da muss nicht unbedingt in der ersten Zeile dann $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$
stehen. Wie ich vorher schon gesagt habe, A ist diagonalisierbar und es ist:

$\begin{eqnarray*} e^{PDP^{-1}} = Pe^{D}P^{-1} \end{eqnarray*}$

Und e^D ist einfach zu berechnen. Dann kannste es Zeilenweise lösen.

30.09.2006, 18:16

Bjoern1982

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Also $\begin{eqnarray*} e^A \end{eqnarray*}$ hab ich mal berechnet :

$\begin{eqnarray*} e^A=\begin{pmatrix} 2e-e^2 & e-e^2 \\ -2e+2e^2 & -e+2e^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mir ist jetzt nur noch nicht klar was $\begin{eqnarray*} e^{Ax} \end{eqnarray*}$ ist...

x müsste ja ein zweidimensionaler Vektor sein verwirrt

verwirrt

30.09.2006, 18:20

Mazze

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Ne, die Definition der Exponentialfunktion von einem Spaltenvektor geht zumindest nicht auf die klassische Weise weil das Produkt nicht definiert ist. x ist ein normales x aus den reellen Zahlen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Man Integriert ja auch nicht von einem Vektor zum andern sondern höchstens über Gebiete.

30.09.2006, 18:26

Bjoern1982

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Das heisst ich muss jetzt jede Komponente der Matrix mit x multiplizieren und dann zeilenweise integrieren?

Aber wie verknüpfe ich dann die beiden Einträge in der ersten Zeile der Matrix, einfach mal mit plus ?

Ist mir irgendwie noch nicht ganz klar unglücklich

unglücklich

30.09.2006, 18:30

Mazze

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Also:

Du hast ja die Diagonalmatrix und die Transformationsmatrizen, es ist:

$\begin{eqnarray*} Pe^{Dx}P^{-1} = e^{Ax} \end{eqnarray*}$

Das heißt du multiplizierst die Diagonaleinträge mit x. Das ist sehr einfach und ergibt natürlich

$\begin{eqnarray*} e^{\lambda_i x} \end{eqnarray*}$ als Diagonaleinträge

für $\begin{eqnarray*} e^{Dx} \end{eqnarray*}$

den selben Spaß machste überall wo e^A auftritt. Das was in dem Integral steht wird ein Vektor, und Matrix mal Vektor ist wieder Vektor deshalb kommt das richtige raus Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.09.2006, 18:59

Bjoern1982

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Wäre das dann so korrekt ?

$\begin{eqnarray*} y(x)=\begin{pmatrix} 2e^x-e^{2x} & e^x-e^{2x} \\ -2e^x+2e^{2x} & -e^x+2e^{2x} \end{pmatrix} \cdot \int_{0}^{x}~\begin{pmatrix} 2e^t-e^{2t} & e^t-e^{2t} \\ -2e^t+2e^{2t} & -e^t+2e^{2t} \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} \frac{1}{2}(e^t+e^{-t}) \\ -e^{-t} \end{pmatrix}~dt + \begin{pmatrix} 2e^x-e^{2x} & e^x-e^{2x} \\ -2e^x+2e^{2x} & -e^x+2e^{2x} \end{pmatrix}y_0 \end{eqnarray*}$

Und dann zeilenweise integrieren?

30.09.2006, 19:04

Mazze

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Ich hab nicht nachgerechnet aber wenn Du alles richtig gemacht hast und dann den Vektor im Integral ordentlich integrierst kannste ja selber überprüfen ob deine Lösung richtig ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

Der Ansatz passt jedenfalls so !

30.09.2006, 19:19

Bjoern1982

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Ok, dann porbier ich das mal.
Sowas als Klausuraufgabe ist aber nicht gerade nett...
Jetzt nicht vom Schwierigkeitsgrad sondern vom Aufwand her geschockt

geschockt

Naja, mal sehen was rauskommt.

Danke für deine Mühe smile

smile

Gruß Björn

Edit:

Ich denke ich werde die Lösung nicht mehr posten, denn das ist schon ne ganz schöne Arbeit und ich denke ich habe es ja jetzt soweit verstanden.

Danke also nochmal smile

smile

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