Basis, Untervektorraum

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03.11.2009, 00:35	Orfelina	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis, Untervektorraum Guten Abend! Es seo gegeben: Sei W der lineare Untervektorraum von Abb(R,R) aufgespannt durch die Funktionen {e^t, te^t, e^{2t} }. Zu zeigen ist nun, dass B = {e^t, te^t, e^{2t} } eine Basis von W ist. Mir ist klar, dass zu zeigen ist, dass es ein linear unabhängiges Erzeugendensystem gibt - was mir aber unklar ist: Wie soll / kann ich das machen? Liebe Grüsse und herzlichen Dank!
03.11.2009, 00:39	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis, Untervektorraum Hi Orfelina, Ein Erzeugendensystem ist es offensichtlich. Zu zeigen ist nur noch die lineare Unabhängigkeit. Nimm dazu eine nichttriviale Linearkombination der Funktionen die Null wird und führe das zum Widerspruch. (Das Zauberwort lautet hier: Differentiation) Gruß, Reksilat.
03.11.2009, 15:22	Orfelina	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis, Untervektorraum Hallo! Danke für die Antwort! Könntest du mir vlt. kurz sagen, warum es offensichtlich ist, dass es sich hier um ein Erzeugendensystem handelt? Zur linearen Unabhängigkeit: Also, mit Differentiation meinst du die Ableitung? Dann wäre (t*e^t) zwar die Ableitung von (e^{2t}), (e^t) jedoch würde ein wenig "neben den Schuhen" stehen..
03.11.2009, 15:26	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis, Untervektorraum W ist als Erzeugnis dieser drei Vektoren definiert. Offensichtlicher geht es wirklich nicht, dass die drei Vektoren ein Erzeugendensystem bilden. Und bevor Du an die Ableitung denkst, solltest mal einen Ansatz bringen. Den habe ich Dir sogar schon hingeschrieben. Gruß, Reksilat.
03.11.2009, 23:37	Orfelina	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis, Untervektorraum Also, zum Ansatz: Du hast geschrieben, ich soll eine nichttriviale Linearkombination der Funktionen nehmen, die Null wird. Nun..: 0^t [das heisst allgemein: e = 0, t Element R gäbe 0, für alle Funktionen]. Ein anderes e^t = 0 gibt es nicht. Das heisst also, mit e = 0 und t in R wäre eine solche Funktion gefunden..
04.11.2009, 01:06	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis, Untervektorraum $\begin{eqnarray} e \end{eqnarray}$ ist die Eulersche Zahl, $\begin{eqnarray} e=2,71828183... \end{eqnarray}$ ! Was ich oben meinte und vielleicht etwas missverständlich ausgedrückt habe, ist, dass Du annehmen sollst, es gebe eine nichttriviale Linearkombination der drei Funktionen, die die Nullfunktion ergibt. Dies ist der klassische Ansatz, um lineare Unabhängigkeit zu zeigen. Den wirst Du immer wieder benötigen und deshalb ist es auch wichtig, dass Du diesen Ansatz aufschreibst und auch verstehst was er bedeutet, bevor Du hier irgendetwas anderes machst. Gruß, Reksilat.
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04.11.2009, 02:10	Orfelina	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis, Untervektorraum Ahh..oke, ich habe verstanden Trotzdem komme ich nicht viel weiter: wenn ich zB habe: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , dann ist es: e^{-1} - 1*e^{-1} + e^0 = 1 , nicht aber 0
04.11.2009, 10:14	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis, Untervektorraum Nein! Deine Vektoren sind hier Funktionen. Eine Linearkombination wäre zum Beispiel: $\begin{eqnarray} a\cdot e^t+b\cdot te^t+c\cdot e^{2t} \end{eqnarray}$ Die Frage ist nur noch, ob das für feste $\begin{eqnarray} a,b,c \end{eqnarray}$ die Nullfunktion sein kann. Gruß, Reksilat.
04.11.2009, 17:50	Orfelina	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis, Untervektorraum Ja, es kann schon für feste a, b und c sein - dann sind sie aber abhängig von t.
04.11.2009, 18:35	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis, Untervektorraum Die Nullfunktion ist nicht abhängig von $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ , die ist immer 0.
04.11.2009, 19:59	Orfelina	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis, Untervektorraum Ja, aber dann wäre ja a = b = c = 0, was dann ja eigentlich trivial ist (..du hast aber nach einer nichttrivialen Lösung gefragt) Zu deiner letzten Frage: Ja, es kann für feste a, b, c die Nullfunktion sein, ergo: Es ist eine Basis.
05.11.2009, 01:06	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis, Untervektorraum Es geht wirklich nur um nichttriviale Linearkombinationen! Also einer der Koeffizienten $\begin{eqnarray} a,b,c \end{eqnarray}$ ist immer ungleich 0. Wenn diese Linearkombination die Nullfunktion wäre, dann könntest Du ja $\begin{eqnarray} a,b,c \end{eqnarray}$ direkt angeben. Kannst Du das? Gruß, Reksilat.

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