limes sup und limes inf unterschied zu lim

03.11.2009, 09:57

diego

limes sup und limes inf unterschied zu lim

Hallo,

was ist der lim superior und inferior?
Das es der größte bzw kleineste Grenzwert einer Folge ist hilft mir
irgendwie nicht weiter ...
Was soll den da der unterschied sein zum lim?

wenn man n+((1)/(n^2+2)) nimmt wie kann ich dann lim sup und inf berechnen?

Den limes berechnet man ja so ... man gibt ihn in den Taschenrechner ein und drückt Enter ... und den lim sup/inf?

03.11.2009, 10:18

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Zitat:

Original von diego
Das es der größte bzw kleineste Grenzwert einer Folge ist hilft mir
irgendwie nicht weiter ...

Größter und kleinster Häufungswert der Folge!

Zitat:

Original von diego
Den limes berechnet man ja so ... man gibt ihn in den Taschenrechner ein und drückt Enter

Dann hoffe ich mal, du musst niemal Grenzwerte ohne deinen TR berechnen. Augenzwinkern

Es gibt kein allgemeines Kochrezept zum Finden der Häufungswerte, das hängt von der Struktur der Folge ab. Aber folgendes sollte dir schon klar werden:

Existiert der Grenzwert, dann ist er auch der einzige Häufungswert, und damit auch zugleich liminf und limsup dieser Folge. Es sind also ausschließlich divergente Folge, wo man unterschiedliche liminf und limsup haben kann.

03.11.2009, 10:40

Jacques

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Hallo,

Bei der Beispielfolge

$\begin{eqnarray*} (a_n)_{n \in \mathbb{N}} = \left(n + \frac{1}{n^2 + 2} \right)_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$

gibt übrigens einfach

$\begin{eqnarray*} \limsup_{n \to \infty} a_n = \liminf_{n \to \infty} a_n = +\infty \end{eqnarray*}$

Denn die Folge divergiert ja bestimmt gegen $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ .

03.11.2009, 14:27

diego

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okay danke erstmal

das war vll ein etwas blöd gewähltes bsp. also so:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^{\infty} (-1)^n* \frac{n}{n^2+1} \end{eqnarray*}$

ich frage weil ich das mit dem Wurzelkriterium machen will und dafür brauch ich den lim sup

mit dem QK brauch ich ja nur in den lim x_n+1/x_n einsetzen ...

03.11.2009, 17:35

nane

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Zitat:

Original von diego
okay danke erstmal

das war vll ein etwas blöd gewähltes bsp. also so:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^{\infty} (-1)^n* \frac{n}{n^2+1} \end{eqnarray*}$

ich frage weil ich das mit dem Wurzelkriterium machen will und dafür brauch ich den lim sup

mit dem QK brauch ich ja nur in den lim x_n+1/x_n einsetzen ...

ZU Limsup hat dir Arthur ja schon einen Hinweis gegeben. Lies also noch mal nach was ein Häufungspunkt einer Folge ist.
Wieviel Häufungspunkte haben denn konvergente, bzw bestimmt divergente Folgen?

Zur Aufgabe:

Das Wurzelkriterium wird dir sicher nicht weiterhelfen. Versuchs mal mit Leibniz immer gut bei alternierenden Folgen.

mFg nane

03.11.2009, 20:03

diego

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sorry hab mich da jetzt vertan ...

aber wo wir schon hier sind, eine Frage:

Wenn ich jetzt beim Leibnitz den Limes mach:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{a_n} (-1)^n *n/(n+1) \end{eqnarray*}$

was passiert mit dem -1 wie zb siehts hier aus?

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{a_n} (-3)^n *n/(n+1) \end{eqnarray*}$

um dann die monotonie zu beweißen, wie muss ich dann schreiben:

n/(n+1) > (n+1)/(n+2)

wie sieht das jetzt beim (-3)^n aus?

03.11.2009, 20:10

nane

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Zitat:

Original von diego
sorry hab mich da jetzt vertan ...

aber wo wir schon hier sind, eine Frage:

Wenn ich jetzt beim Leibnitz den Limes mach

Moin!

Hast du denn gefragt ob du das darfst?? Big Laugh

03.11.2009, 20:20

nane

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Zitat:

Original von diego
sorry hab mich da jetzt vertan ...

aber wo wir schon hier sind, eine Frage:

Wenn ich jetzt beim Leibnitz den Limes mach:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{a_n} (-1)^n *n/(n+1) \end{eqnarray*}$

was passiert mit dem -1 wie zb siehts hier aus?

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{a_n} (-3)^n *n/(n+1) \end{eqnarray*}$

um dann die monotonie zu beweißen, wie muss ich dann schreiben:

n/(n+1) > (n+1)/(n+2)

wie sieht das jetzt beim (-3)^n aus?

Hi!

Aber nun im Ernst. Mir fällt auf das einem hier im Forum manchmal ganzschön was vor die Füße geko...t wird. Du willst Hilfe kannste ham - aber stell doch bitte deine Frage vernünftig. böse

Wie heißt denn deine Reihe die du verleibnizen willst. Wie lautet denn das dazugehörige Leibnizkriterium?? Gehört dann dein $\begin{eqnarray*} (-1)^n \end{eqnarray*}$ zur Folge die du auf Monotonie und Nullfolgeneigenschaft zu untersuchen hast??

monoton fallend heißt $\begin{eqnarray*} a_n\ge a_{n+1} \end{eqnarray*}$ oder daraus resultierend $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n}\leq1 \end{eqnarray*}$

mFg nane

03.11.2009, 20:31

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Zitat:

Original von nane
Aber nun im Ernst. Mir fällt auf das einem hier im Forum manchmal ganzschön was vor die Füße geko...t wird.

Willkommen im Club. Ich hatte auch mal die Vorstellung, dass an sich gebildete Leute mit Hochschulreife ihre Fragen bzw. Gedanken doch halbwegs verständlich ausdrücken sollten. Aber dem ist eben leider sehr, sehr oft nicht so. Dabei ist der Thread hier noch vergleichsweise harmlos in dieser Hinsicht. Augenzwinkern

03.11.2009, 21:06

diego

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Ich möchte folgende Reihe auf Konvergenz untersuchen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} = (-1)^n \frac{n}{n^2+1} \end{eqnarray*}$

kann ich ja ganz einfach das LK anwenden:

als erstes:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n^2+1} = 0 \end{eqnarray*}$

monotonie:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^2+1} > \frac{n+1}{(n+1)^2+1} \end{eqnarray*}$
stimmt auch...

meine Frage:
naja wo ist das (-1)^n hin?
bzw. ist das passiert: |(-1)^n|
----------------

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} = \frac{(n+11)(-28)^{n+2}}{(2n)!(2n+1)} \end{eqnarray*}$

wenn ich mit meiner oberen Vermutung richtig liege dann wüder hier passieren:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{(n+11)(28)^{n+2}}{(2n)!(2n+1)} \end{eqnarray*}$

richtig oder flasch?

03.11.2009, 21:52

nane

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Zitat:

Original von diego
Ich möchte folgende Reihe auf Konvergenz untersuchen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} = (-1)^n \frac{n}{n^2+1} \end{eqnarray*}$

kann ich ja ganz einfach das LK anwenden:

als erstes:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n^2+1} = 0 \end{eqnarray*}$

monotonie:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^2+1} > \frac{n+1}{(n+1)^2+1} \end{eqnarray*}$
stimmt auch...

wenn du die Monotonie wirklich nachgewiesen hast ist das dann ok

Zitat:

Original von diego
meine Frage:
naja wo ist das (-1)^n hin?
bzw. ist das passiert: |(-1)^n|

Das Leibnizkriterium heißt bei mir so:

Sei $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ eine monoton fallende Nullfolge. Dann konvergiert die alternierende Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty(-1)^n a_n \end{eqnarray*}$ .

Manchmal wird allerdings auch die Folge $\begin{eqnarray*} (|(-1)^n a_n|) \end{eqnarray*}$ auf Monotonie und Konvergenz untersucht - je nach Dozent.
Wegen $\begin{eqnarray*} |(-1)^n a_n|=a_n \end{eqnarray*}$ ist das aber auch egal. Ich findes es nur weniger verwirrend, wenn $\begin{eqnarray*} (-1)^n \end{eqnarray*}$ nicht mit zur Folge gezählt wird.

----------------

Zitat:

Original von diego
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} = \frac{(n+11)(-28)^{n+2}}{(2n)!(2n+1)} \end{eqnarray*}$

wenn ich mit meiner oberen Vermutung richtig liege dann wüder hier passieren:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{(n+11)(28)^{n+2}}{(2n)!(2n+1)} \end{eqnarray*}$

richtig oder flasch?

So und nun hast du noch eine weitere alternierende Reihe gegeben durch:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n+11)(-28)^{n+2}}{(2n)!(2n+1)}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{(28)^{n+2}(n+11)}{(2n)!(2n+1)} \end{eqnarray*}$

richtig? und die soll ebenso auf Konvergenz untersucht werden?

Zitat:

Original von diego
wenn ich mit meiner oberen Vermutung richtig liege dann wüder hier passieren:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{(n+11)(28)^{n+2}}{(2n)!(2n+1)} \end{eqnarray*}$

richtig oder flasch?

Ja $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ gegben durch $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{(n+11)(28)^{n+2}}{(2n)!(2n+1)} \end{eqnarray*}$ müßte dann auf Monotonie und Konvergenz untersucht werden, wenn du das LK verwenden möchtest.

Du kannst allerdins die Reihe auch auf absolute Konvergenz untersuchen - da hast du noch ein par Kriterien mehr.
Ich würde also prüfen ob

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty\left|(-1)^n\frac{(n+11)(28)^{n+2}}{(2n)!(2n+1)}\right| \end{eqnarray*}$ konvergiert - dann konvergiert auch die ursprüngliche Reihe.

mFg nane

05.11.2009, 10:59

diego

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Danke!

Hm aber jetzt hab ich leider noch eine Frage und zwar:

wie schaut das mit dem Majorantenkriterium aus?

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{n^4+1}} \end{eqnarray*}$

Hier würd ich als vergleich 1/n verwenden ... warum auch immer?

Jetzt wird das 1/n unter die wurzel gezogen(1/n^3) und der limes davon gerechnet?

nun steht 1/wurzel(0) was unendlich ergibt.

Okay, aber ich glaube ich mach irgendwas grundlegend falsch ...
Den durch das ganze bin ich auch auf die Frage gekommen was der lim sup/inf ist.

05.11.2009, 11:04

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Zitat:

Original von diego
Hier würd ich als vergleich 1/n verwenden

Das bringt nichts: Als Majorante eine divergente Reihe zu nehmen, bringt Null Erkenntnisgewinn, da für die Originalreihe dann nach wie vor beides möglich ist: Konvergenz oder Divergenz.

05.11.2009, 11:42

diego

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hm dann 1/n^2 ...

wie man sieht fehlt mir der Ansatz

05.11.2009, 13:01

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Nein, das ist nun wiederum keine Majorante.

Wenn schon eine Potenzfunktion als Majorante, dann doch die naheliegende: Es ist

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt[3]{n^4+1}} \leq \frac{1}{\sqrt[3]{n^4}} = n^{-\frac{4}{3}} \end{eqnarray*}$ .

05.11.2009, 16:46

diego

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danke, ich habs jetzt mal ganz anders probiert:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt[3]{n^2+1}} \leq \frac{1}{\sqrt[3]{n^4}} = n^{-\frac{4}{3}} \end{eqnarray*}$

1<(n^2-1)^(1/3) => n^2 - 1 < n^3
n*n -1 < n*n*n
-1 < n
-1 > 1/n

Daher divergent ...

05.11.2009, 16:49

diego

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt[3]{n^4}} = n^{-\frac{4}{3}} \end{eqnarray*}$

sorry den Teil kann man weg lassen

05.11.2009, 17:39

nane

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Hi!

Zitat:

Original von diego
danke, ich habs jetzt mal ganz anders probiert:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt[3]{n^2+1}} \leq \frac{1}{\sqrt[3]{n^4}} = n^{-\frac{4}{3}} \end{eqnarray*}$

1<(n^2-1)^(1/3) => n^2 - 1 < n^3
n*n -1 < n*n*n
-1 < n
-1 > 1/n

Daher divergent ...

Sorry d. aber das kannst du auch alles weglassen. Iss nämlich alles falsch. Und ein gutes Beispiel dafür, dass aus einer falschen Aussage auch was wahres folgen kann da $\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty\frac{1}{\sqrt[3]{n^2+1}} \end{eqnarray*}$ wirklich divergent ist.

Ich zeig dir hier noch mal wie so eine Abschätzung funxen kann.

z.z $\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty\frac{1}{\sqrt[3]{n^2+1}} \end{eqnarray*}$ ist divergent.

für $\begin{eqnarray*} (n\ge2): (n+1)^2<n^3 \end{eqnarray*}$

und damit auf Grund der Monotonie der Wurzelfunktion

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{n^2+1}<\sqrt[3]{n^3}=n \end{eqnarray*}$

woraus nun $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt[3]{n^2+1}}>\frac{1}{n}\text{ fuer }(n\ge2) \end{eqnarray*}$ folgt.

Das heißt $\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty\frac{1}{\sqrt[3]{n^2+1}}>\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ und somit die Divergenz der Reihe.

So das kannst du jetzt mal für deine Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{\sqrt[3]{n^4+1}} \end{eqnarray*}$ allein versuchen.

Schau dir vorher nochmal das hier an.
edit: unter Anwendung

nane

06.11.2009, 07:09

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@Diego

Mich hast du jetzt mit deiner Betrachtung von $\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{n^2+1}} \end{eqnarray*}$ total verwirrt:

Sollst du das Konvergenzverhalten dieser Reihe bestimmen, oder doch das der ursprünglich genannten Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{n^4+1}} \end{eqnarray*}$ ?

Kannst natürlich auch beides machen, aber dann äußere dich klar dazu, und mach nicht solche seltsamen fliegenden Wechsel.

10.11.2009, 10:35

diego

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Danke! das hat mir sehr geholfen

naja ich wollte beide wissen weil mit n^2 müsste mans ja mit 1/n vergleichen und bei n^4 ja mit 1/n^2

also hab ich zumindest gemacht

10.11.2009, 11:48

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Nein, mit dieser Analogie bist du auf dem Holzweg:

Es stimmt, $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt[3]{n^2+1}} > \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ führt dazu, dass man eine divergente Minorante $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ als Begründung für die Divergenz der Reihe anführen kann.

Aber was bitte soll $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt[3]{n^4+1}} > \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ denn bringen? Du hast dann eine konvergente Minorante $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ , was leider ein Konstrukt mit Null Aussagekraft hinsichtlich Konvergenz/Divergenz der Ausgangsreihe ist.

10.11.2009, 20:29

diego

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wann muss ich die folge nun mit was vergleichen ?

ich dachte immer höchste Potenzen suchen dann kürzen dann steht entweder 1/n oder 1/n^2 usw

10.11.2009, 20:30

diego

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Reihe

10.11.2009, 20:35

nane

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Zitat:

Original von diego
wann muss ich die folge nun mit was vergleichen ?

ich dachte immer höchste Potenzen suchen dann kürzen dann steht entweder 1/n oder 1/n^2 usw

Hallo diego!

Wie lautet denn das Minorantenkriterium und wie das Quotientenkriterium??

Warum ist also die Abschätzung deiner Reihe mit Hilfe von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ nicht möglich??

Es bringt ja nix, wenn wir dir die Majorante vorsagen (obwohl sie schon irgendwo im Thread steht). Du mußt ja auch begreifen was du warum machst.

mFg nane

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