Eigenvektor = 0

29.09.2006, 02:11

pflaume

Eigenvektor = 0

Schönen guten Abend zusammen,

EDIT #1: kleinere Fehler korrigiert, danke@klarsoweit

Ich bin z.Zt. dabei den Inhalt von Linearer Algebra I zu wiederholen und kann eine Aufgabe nicht so ganz nachvollziehen (siehe rote Stelle in der Aufgabe).

[b]Aufgabenstellung:
Berechnen der Eigenwerte von A und Bestimmung der Dimension der Eigenräume:

geg.:
$\begin{eqnarray*} K =\begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 \\ 16 & 1 & 6 \\ -6 & 2 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ges.: EW und EV von A

Mein Ansatz:

- Matrix vorbereiten:
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow det (A - \lambda * \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}) = 0 \end{eqnarray*}$

- Determinante bilden und =0 setzen:
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow det\begin{pmatrix} 1-\lambda & -1 & -2 \\ 16 & 1-\lambda & 6 \\ -6 & 2 & 2-\lambda \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

- Anwendung der Regel von Sarrus:
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow det\begin{vmatrix} 1-\lambda & -1 & -2 \\ 16 & 1-\lambda & 6 \\ -6 & 2 & 2-\lambda \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 1-\lambda & -1 \\ 16 & 1-\lambda \\ -6 & 2 \end{vmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

- Bilden des Charakteristischen Polynoms:
$\begin{eqnarray*} p_{A}(\lambda) = \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} [(1-\lambda)*(1-\lambda)*(2-\lambda)] + [(-1)*6*(-6)]+ [(-2)*16*2] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} - [(-2)*(1-\lambda)*(-6) - [(1-\lambda)*6*2] - [(-1)*16*(2-\lambda)] \end{eqnarray*}$
..
.
- Am Ende erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} p_{A}(\lambda) = -\lambda^3+4\lambda^2+3\lambda-18 \end{eqnarray*}$

- Erraten bzw. tippen einer Nullstelle und...:
$\begin{eqnarray*} \lambda = -2 \end{eqnarray*}$

- Polynomdivision durchführen:
$\begin{eqnarray*} (-\lambda^3+4\lambda^2+3\lambda-18) : (\lambda + 2) = (-\lambda^2+6\lambda-9) \end{eqnarray*}$

- Restliche Nullstellen bestimmen:
$\begin{eqnarray*} -\lambda^2+6\lambda-9=0 |*(-1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda^2-6\lambda+9=0 | Vietta \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (\lambda^2-3)(\lambda-3)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (\lambda^2-3)=0 \end{eqnarray*}$ V $\begin{eqnarray*} (\lambda-3)=0 \end{eqnarray*}$
..
.
Folgende Nullstellen gibt es:
$\begin{eqnarray*} \lambda=-2 \end{eqnarray*}$ V $\begin{eqnarray*} \lambda=3 \end{eqnarray*}$

- Berechnung des Eigenvektors zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda=-2 \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1-(-2) & -1 & -2 \\ 16 & 1-(-2) & 6 \\ -6 & 2 & 2-(-2) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\begin{pmatrix} 1-(-2) & -1 & -2 \\ 16 & 1-(-2) & 6 \\ -6 & 2 & 2-(-2) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\begin{pmatrix} 3 & -1 & -2 \\ 16 & 3 & 6 \\ -6 & 2 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\begin{pmatrix} 3 & -1 & -2 | 0 \\ 16 & 3 & 6 | 0\\ -6 & 2 & 4 | 0 \end{pmatrix}|2I+III \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\begin{pmatrix} 0 & 4 & 0 | 0 \\ 16 & 3 & 6 | 0\\ -6 & 2 & 4 | 0 \end{pmatrix}|2II-3III \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\begin{pmatrix} 0 & 4 & 0 | 0 \\ 34 & 0 & 0 | 0\\ -6 & 2 & 4 | 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow4v_2 = 0\Rightarrow v_2=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow34v_1 = 0\Rightarrow v_1=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow4v_3 = 0\Rightarrow v_3=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow v_1 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow v_2 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow v_3 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow v=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hier ist das Problem. Der Eigenvektor, der hier erzeugt wird erfüllt nicht die Bedinung: $\begin{eqnarray*} \vec{v} \neq 0 \end{eqnarray*}$ .
Allerdings wird der zweite Eigenvektor richtig erzeugt. Für diesen erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow v_1 = v_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow v_2 = -2v_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow v_3 = -10v_3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow v=\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -10 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Weiß jemand eventuell, wieso bei mir der Eigenvektor $\begin{eqnarray*} \vec{v} = 0 \end{eqnarray*}$ ist ? Denn verrechnet (ööh denke ich :hammer smile

hab ich mich nicht.
Also nochmal konkret gefragt:
Was passiert wenn als Eigenvektor der Nullvektor rauskommt, also der Kern der Matrix nur aus dem Nullvektor besteht ?

Danke für jede Antwort und Hilfe,
pflaume

PS: Ich werde euch nun wohl öfters mit meiner Anwesenheit nerven. Seit vorbereitet Augenzwinkern

29.09.2006, 02:21

JochenX

Eigenvektor = 0

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