Untervektorraum und Basen

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nicht_Trivial Auf diesen Beitrag antworten »
Untervektorraum und Basen
Hallo Community,

habe folgende Aufgabe zu lösen:

Was ist eine Basis eines Vektorraums? Zeigen Sie, dass die Teilmenge



ein Untervektorraum von Q³*³ ist. Bestimmen Sie die drei Basen dieses Untervektorraums.

Wie zeige ich jetzt, dass diese Menge ein Untervektorraum von Q³*³ ist?
Da alle angegebenen Einträge sich in der Matrix Q³*³ befinden ist es für mich ein Untervektorraum. Ist das so okey?

jetzt muss ich auch drei Basen des Untervektorraums finden.

Für mich sieht der Untervektorraum folgend aus:



x ist keine element des Untervektorraums, deshalb kann man es auch null setzen.

Da die Diagonale 0 ergeben muss, kann ich doch A11 , A 22 = 1 setzen und A33 = -1.

Liege ich soweit mit meinen Schritten richtig?

Bin mir nicht sicher.

Freue mich über jede Antwort.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untervektorraum und Basen
Hallo,

Zitat:
Original von nicht_Trivial
Wie zeige ich jetzt, dass diese Menge ein Untervektorraum von Q³*³ ist?
Da alle angegebenen Einträge sich in der Matrix Q³*³ befinden ist es für mich ein Untervektorraum. Ist das so okey?

Nein! ist keine Matrix sondern ein Vektorraum der 3x3-Matrizen mit Einträgen aus .


Zitat:
Für mich sieht der Untervektorraum folgend aus:



x ist keine element des Untervektorraums, deshalb kann man es auch null setzen.

Da die Diagonale 0 ergeben muss, kann ich doch A11 , A 22 = 1 setzen und A33 = -1.

Was soll das heißen dass x kein Element des UVRs ist? Natürlich nicht, a_1 aber genauso wenig. Das sind die Einträge der Matrizen!
Und nicht der UVR sieht so aus, sondern Elemente daraus!
Die Diagonale irgendwie zu setzen darfst du auch nicht! Die Diagonaleinträge sind beliebig aber eben so dass die Summe gerade 0 ergibt.
Also haben wir für beliebige Elemente des (potentiellen) UVRs:
wobei

"Die" 3 Basen zu bestimmen ist übrigens sinnlos, es gibt unendlich viele Basen!


Was du jetzt also als erstes tun musst ist das Untervektorraumkriterium überprüfen? Wie lautet das?
nicht_Trivial Auf diesen Beitrag antworten »

Untervektorraumkriterium:
*U=<V
*Sind zwei Vektoren u, v Element von U, dann auch ihre Summe u + v
*Vektor v Element von U, dann auch alle seine skalaren Vielfachen.
*0_v Element von U (wobei ich nicht weiß, was 0_v ist).


Wie zeige ich jetzt, ob es sich bei der Teilmenge um einen Untervektorraum von QQ³*³ handelt?

Q³*³ sieht doch so aus:

Die zweite Zahl sollte natürlich auch unten im Index stehen.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ja das stimmt. Jetzt musst du eben prüfen ob diese Kriterien erfüllt sind(das ist nur nachrechnen, maximal 2 Umformungen)

0_v ist in diesem Fall natürlich die Nullmatrix!

Und der Vektorraum sieht nicht so aus, sondern Elemente daraus sehen so aus!(Das zweite mal dass du den Fehler machst)
nicht_Trivial Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
danke für die Hilfe.

Wie überprüfe ich jetzt in diesem Fall die Kriterien, ob es ein Untervektorraum von Q³*³ ist? Stehe gerade irgendwie auf der Leitung.
Kannst du mir eventuell die Umformungen zeigen? Komme irgendwie nicht darauf. unglücklich

Habe jetzt schon etwas länger rumprobiert.

Würde mich wirklich über die Hilfe freuen. smile
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Komisch, was hast du das versucht? Augenzwinkern

Also wir haben "Sind zwei Vektoren u, v Element von U, dann auch ihre Summe u + v"
Wie sehen denn 2 beliebige Vektoren u und v aus?
 
 
nicht_Trivial Auf diesen Beitrag antworten »

Ist einer der beiden Vektoren u, v ein Eintrag der Elemente oder ist es eine Spalte der Elemente oder eine Zeile der Elemente?

Wenn man es weiß ist es bestimmt trivial, aber ich blicke da im Moment nicht durch.
unglücklich
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Das schreibe ich jetzt zwar zum dritten mal(und bestimmt zum letzten mal: Genau lesen ist angesagt!):
Die Elemente des Vektorraums sind bestimmte Matrizen.
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