Abbildungen(Bijektion)

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9mb0 Auf diesen Beitrag antworten »
Abbildungen(Bijektion)
Hallo,

habe wieder mal ein Problem mit einer Aufgabe.

Sei M eine endliche Menge und sei f: M---->M eine Bijektion. für natürliche Zahlen schreiben wir



Zeigen Sie, dass eine natürliche Zahl existiert, so dass gilt.

Hinweis: Sie dürfen die Tatsache benutzen, dass es nur endlich viele Bijektionen von M nach M gibt.


Habe leider keine Ahnung wie ich das zeigen soll, ich hoffe ihr gebt mir Tips so dass ich die Aufgabe lösen kann.

Mit freundlichem Gruß

9mb0
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst wohl .

Und nun soll für ein gelten: .

Du hast ja schon einen Hinweis gegeben. Es gibt endlich viele (Es seien genau n) Bijektionen von M nach M.

Betrachte nun die Bijketionen . Dies sind n+1 Bijektionen. Nach dem Schubfachprinzip sind darunter also mindestens 2 gleiche. Es gibt also mit mit .

Wie kannst du weitermachen?
9mb0 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau das meine ich =)

Ich bitte dies zu entschuldigen, bin noch nicht so vertraut mit den Befehlen da ich neu im Forum bin.

Zu deinem Tip, warum muss es nach dem Schubfachprinzip genau 2 geben die gleich sind, das verstehe ich nicht.

Das Schubfachprinzip besagt doch, dass wenn ich auf n Schübe, n+1 Objekte verteile mindestens einer doppelt besetzt ist.

Ich verstehe aber nicht inwiefern mich das hier weiter bringt.

Wenn sein soll, dann muss doch letztendlich sein oder??

Die Umkehrabbildung kann ich ja bilden, weil f bijektiv ist.

Aber vielen Dank für deine Hilfe, ich denke das Problem liegt bei mir verwirrt
vll kannst du mir noch ein wenig auf die Sprünge helfen
9mb0 Auf diesen Beitrag antworten »

Ach jetz hab ich das mit dem Schubfachprinzip kapiert, ich betrachte ja n+1 Bijektionen es gibt aber nur n deshalb sind 2 gleich ok, weiß aber immer noch nicht inwiefern mir das was bringt.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Überleg doch mal

Es gilt


Oder auch (aufgrund des Assoziativgesetz):



In Kurzform:



Was bedeutet das?
9mb0 Auf diesen Beitrag antworten »



das heißt dann vermutlich, dass ist.

also das fällt weg.

hm und was sagt mir das...

sorry, ich glaub ich stell mich wirklich saublöd

und danke für deine hilfe Freude
 
 
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von 9mb0
das heißt dann vermutlich, dass ist.


Was nicht wirklich verwundert Big Laugh

Jetzt mal richtig:

Schau mal, du hast jetzt zwei Funktionen von M nach M, nennen wir sie mal g und h.

Und wenn man g mit h verknüpft, kommt wieder g raus. Was bedeutet das denn? Denk mal daran, dass die Abbildungen von M nach M mit der Komposition eine Gruppe bilden.
9mb0 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann ist g die Identität von M.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Also gilt immer ?

Das wäre mir neu.
9mb0 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meine es anders herum,


tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist welche Abbildung jetzt deine gesuchte Identität?
9mb0 Auf diesen Beitrag antworten »

?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Das muss allerdings natürlich gezeigt werden.

Dazu gibt es 2 Möglichkeiten.

1. Ihr habt in der Vorlesung schon bewiesen, dass die Abbildungen von M nach M mit eine Gruppe bilden. Weiterhin ist dir die Eindeutigkeit des neutralen Elements bekannt und du weißt dass die Indentität das neutrale Element dieser Gruppe ist.

Dann ist die Sache mit schon erledigt.

2. Ihr hattet das oben alles noch nicht. Dann musst du aus direkt folgern: für alle . Ist aber auch nur ein Einzeiler.
9mb0 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, vielen Dank für deine Geduld Ups

Bin jetzt in meiner dritten Studiumswoche und es ist alles noch sehr verwirrend für mich.

Freude
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