Beweisführung zum Nachweis der Gleichheit leerer Mengen

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Zakum Auf diesen Beitrag antworten »
Beweisführung zum Nachweis der Gleichheit leerer Mengen
Hey,
heute haben wir einen Beweis für die Gleichheit aller leeren Mengen kennen gelernt. Und den finde ich suspekt...


Eine leere Menge ist die Verneinung einer Menge, die alle Elemente der Grundmenge enthällt.

Sei E(x) wahr für alle x e M


Damit haben wir aber die leere Menge nur für die Menge M definiert.
Das Problem: Ist diese leere Menge aber auch gleich der leeren Menge über N?

Die Gleichheit zweier Mengen ist gegeben, wenn jedes Element der Menge A in der Menge B enthalten ist, und jedes Element der Menge B in A enthalten ist.
Rein logisch kann man also herleiten: Jedes Element der leeren Menge über M ist in der leeren Menge über N enthalten, und auch vice versa.
Soweit so gut, und kein Problem. Nun kommt aber der formale Beweis:

Behauptung:
Seien und zwei Mengen über U,
dann gilt [tex]\emptyset_{M_1} = \emptyset_{M_2} [/tex].
Beweis:
Sei ist falsche Aussage
=> ist wahre Aussage.
Sei ist falsche Aussage
=> ist wahre Aussage.
-----
q.e.d

Was erscheint mir hier unlogisch.?
Erstens: ist wahr.
Die Implikation 0 -> 1 ist m.M.n nicht gegeben.
Da könnte ich ja ausgehend aus einer falschen Aussage ALLES beweisen:
( 1=2 (falsche Aussage) -> 2=3 ) wahre Aussage
Generell zeigt die Wahrheitswerttabelle der Implikation doch, dass
0 und 0 -> 1 genauso wie 0 und 1 -> 1 gilt. Wir können also nicht davon ausgehen, dass die implikative Verknüpfung mit einer falschen Aussage den Rest einfach so wahr macht.
Zweitens ist mir auch völlig unklar, warum als Implikation von (1) gerade ausgewählt wurde. Wo ist da der Bezug? Nach dem gleichen System könnte ich aus (1) auch 2=3 herleiten, oder? (Damit sind wir wieder bei meinem ersten Problem)

Übrigens hallo allerseits mal wieder. Nach längerer Abstinenz bin ich nun auch offiziell mehr im Hochschulbereich zu finden. Wink
Zakum Auf diesen Beitrag antworten »

Scheint, als wäre ich nicht der einzige, dem das Spanisch vorkam. Daher hier auch die Auflösung, die ich rausbekommen habe:

[quote="Ich"]=> ist wahre Aussage. [/quote]
Sollte eher so geschrieben werden:

=> ist wahre Aussage.

Wir treffen hier gar keine Aussage, darüber ob wahr ist, oder nicht. Ist in dem Fall auch egal, den ob wahr ist, oder falsch: Die Implikation an sich bleibt immer wahr.
Im Anschluss zeigen wir, dass das Ganze auch anders herum gilt.

Dann haben wir zwei wahre Aussagen dastehen:
wahr. (Ob gilt wissen wir nicht)
wahr. (Wie gesagt, ob gilt wissen wir nicht)

Und das ist, wie der Zufall es so will, nichts anderes als der gesuchte Beweis für die Mengenäquivalenz:


Und um auf mein Beispiel zurück zu kommen:
( 1=2 (falsche Aussage) -> 2=3 ) wahre Aussage
Bedeutet nicht, dass ich 2=3 nachgewiesen habe, sondern nur, dass ich aus (1=2 folgt 2=3) nachgewiesen habe, was ja durchaus sein kann.


Gibts nun in paar Kommentare? Sicher bin ich mir nämlich nicht. ^^
Lord Pünktchen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweisführung zum Nachweis der Gleichheit leerer Mengen
Behauptung:
Seien und zwei Mengen über U,
dann gilt [tex]\emptyset_{M_1} = \emptyset_{M_2} [/tex].
Beweis:
Sei ist falsche Aussage
=> ist wahre Aussage.
Sei ist falsche Aussage
=> ist wahre Aussage.
-----
q.e.d


Das ist vollkommen ausreichend.

Begründung: Aus falschem folgt alles.
Schau dir die Definition einer Folgerung an Augenzwinkern


Im Grunde hats Zakum ja schon erklärt, aber ich wollt obiges noch loswerden Augenzwinkern
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweisführung zum Nachweis der Gleichheit leerer Mengen
Ich glaube, es ist übersichtlicher so zu argumentieren, dass man sagt, es gilt



für eine beliebige Menge M ("ex falso quodlibet"), d.h., sind und zwei leere Mengen, so gilt sowohl als auch , woraus folgt...
Zakum Auf diesen Beitrag antworten »

@Lord: das war ja mein Problem: Aus falschem folgt alles klingt auf den ersten Blick so nach: Ich beweis jetzt mal, dass meine Haare lila sind und nach Rosen riechen. Ist aber natürlich nicht so.

@Mystic: Wow! Das ist echt elegant gelöst, danke, gefällt mir sehr. smile
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