lin. unabh.von sqrt2, sqrt3, ... über Q

04.11.2009, 10:08

Odania

lin. unabh.von sqrt2, sqrt3, ... über Q

Hallo,

Ich habe meine Aufgabe schon fast gelöst und mir fehlt nur noch der Schluss. Ich muss beweisen, dass: $\begin{eqnarray*} \{ \sqrt {2}, \sqrt {3}, \sqrt {6}, \sqrt {\frac {2} {3}} \} \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ linear unabhängig ist.

Dazu seien wie immer $\begin{eqnarray*} \mu_1 , \mu_2 , \mu_3, \mu_ 4 \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ und aus $\begin{eqnarray*} \mu_1 \sqrt {2}+\mu_2 \sqrt {3}+ \mu_3 \sqrt {6}+ \mu_ 4\sqrt {\frac {2} {3}}=0 \end{eqnarray*}$ muss folgen: $\begin{eqnarray*} \mu_1 , \mu_2 , \mu_3, \mu_ 4=0 \end{eqnarray*}$ .

Da die $\begin{eqnarray*} \mu_i \end{eqnarray*}$ ja aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ sind und $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ keine Wurzeln aus nicht Quadratzahlen und deren Produkten enthält kann man die Elemente der Menge auch nicht als linearkombination voneinander darstellen.
Gibt es da einen Trick diese Tatsache etwas mathematischer auszudrücken?

04.11.2009, 11:29

tmo

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Nach Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$ wird $\begin{eqnarray*} \mu_1 \sqrt {2}+\mu_2 \sqrt {3}+ \mu_3 \sqrt {6}+ \mu_ 4\sqrt {\frac {2} {3}}=0 \end{eqnarray*}$ zu:

$\begin{eqnarray*} \mu_1 \sqrt {3}+ \frac{3}{2}\mu_2 \sqrt {2}+ 3\mu_3 + \mu_ 4=0 \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} -r=3\mu_3 + \mu_ 4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mu_5=\frac{3}{2}\mu_2 \end{eqnarray*}$ wird das zu:

$\begin{eqnarray*} \mu_1 \sqrt {3}+ \mu_5 \sqrt {2}=r \end{eqnarray*}$ , wobei immer noch alle Koeffizienten ( $\begin{eqnarray*} \mu_1, \mu_5, r \end{eqnarray*}$ ) rational sind.

Das Gewünschte kann man nun einfach zeigen, indem man die Gleichung mal ins Quadrat erhebt.

Zitat:

Original von Odania
und $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ keine Wurzeln aus nicht Quadratzahlen und deren Produkten enthält

Das ist übrigens falsch. Weder $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ noch $\begin{eqnarray*} \sqrt{8} \end{eqnarray*}$ liegen in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ , aber sehr wohl $\begin{eqnarray*} \sqrt{16}=\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} \end{eqnarray*}$

Edit: Moment, da steckt ein Denkfehler drin. Es muss zwar $\begin{eqnarray*} r=0 \end{eqnarray*}$ sein, aber das ist ja möglich. Z.b. durch $\begin{eqnarray*} \mu_3=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mu_4=-3 \end{eqnarray*}$ .

Es ist ja auch $\begin{eqnarray*} \sqrt{6}=3 \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} \end{eqnarray*}$ .

Sicher, dass du zeigen sollst, dass die linear unabhängig sind?

04.11.2009, 12:32

Odania

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danke,
Ich darf auch einen oder mehrere rausnehmen und es dann zeigen. Ich muss zeigen das die menge eine Basis ist. Ein Erzeugendensystem ist sie, weil sie aus den Elementen besteht die im VR enthalten sein sollen.

danke für die korrektur meiner überlegung man warum hab ich das nicht gesehen ich bin sonst nicht so blind.

warum darf ich denn mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$ multiplizieren?

könnte man auch sagen $\begin{eqnarray*} \{ \sqrt {2}, \sqrt {3}, \sqrt {6}, \sqrt {\frac {2} {3}} \};\{ \sqrt {3}, 3\sqrt{2},3 ,1\} \end{eqnarray*}$ sind im Spann gleich?

04.11.2009, 12:34

Odania

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dann kann man ja 1 oder 3 rausnehmen.

04.11.2009, 12:56

Odania

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man darf die elemente einer basis doch nur mit hilfe der elemente aus dem körper verlängern und wurzel drei halbe ist ja keine rationale zahl also darf man das doch nicht oder?

04.11.2009, 14:23

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Wie tmo schon sagte, es ist

$\begin{eqnarray*} \sqrt{6}=3 \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} \end{eqnarray*}$ .

Damit ist das Element $\begin{eqnarray*} \sqrt{6} \end{eqnarray*}$ ein rationales Vielfaches des anderen Elements $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{2}{3}} \end{eqnarray*}$ deiner Ausgangsmenge, und umgekehrt. Einen einfacheren Fall von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ -linearer Abhängigkeit gibt es ja gar nicht... Augenzwinkern

Zitat:

Original von Odania
könnte man auch sagen $\begin{eqnarray*} \{ \sqrt {2}, \sqrt {3}, \sqrt {6}, \sqrt {\frac {2} {3}} \};\{ \sqrt {3}, 3\sqrt{2},3 ,1\} \end{eqnarray*}$ sind im Spann gleich?

Du bist ganz schön sprunghaft: Wie kommst du jetzt wieder darauf? Nein, beide "Spanns" sind unterschiedlich - es ist nicht mal so, dass eine Teilmenge der anderen ist, da

$\begin{eqnarray*} \sqrt{6} \not\in \mathbb{Q}\operatorname{span}\{ \sqrt {3}, 3\sqrt{2},3 ,1\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1 \not\in \mathbb{Q}\operatorname{span}\{ \sqrt {2}, \sqrt {3}, \sqrt {6}, \sqrt {\frac {2} {3}} \} \end{eqnarray*}$

gilt.

04.11.2009, 18:57

Odania

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also wegen des Spanns der gleich sein soll ich muss eine basis bestimmen des systems, welches von der beschriebenen Menge aufgespannt wird. Deswegen hab ich das gesagt. also beibt noch
$\begin{eqnarray*} \{ \sqrt {2}, \sqrt {3}, \sqrt {6} \} \end{eqnarray*}$ als potentielle basis über. ich werd dielineare unabhängigkeit jetzt einfach reihum zeigen.

Danke ihr beiden

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