Mengen in der komplexen Ebene skizzieren

04.11.2009, 17:53

SteveD

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Mengen in der komplexen Ebene skizzieren

Also ich soll diese Menge: $\begin{eqnarray*} A = \left\{ z \in \mathbb C | | z | = \frac{z + z^-}{2} +1\right\} \end{eqnarray*}$ in der komplexen Ebene skizzieren...

nun weiß ich das z = x+iy ist und hab aus $\begin{eqnarray*} | z | = \frac{z + z^-}{2} +1 \end{eqnarray*}$
das gemacht: $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \frac{x+iy + x-iy}{2} + 1 \end{eqnarray*}$

daraus dann: $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \frac{2x}{2} + 1 \end{eqnarray*}$

dann: $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^{2} + y^{2}} = x + 1 \end{eqnarray*}$

dann: $\begin{eqnarray*} x^{2} + y^{2} = (x+1)^{2} \end{eqnarray*}$

dann: $\begin{eqnarray*} x^{2} + y^{2} = x^{2} + 2x + 1 \end{eqnarray*}$

dann: $\begin{eqnarray*} y^{2} =2x + 1 \end{eqnarray*}$

und daraus: $\begin{eqnarray*} y =\sqrt{2x + 1} \end{eqnarray*}$

meine Frage ist nun, sind alle Rechenschritte richtig und wenn ja, wie zeichne ich das nun?

05.11.2009, 00:18

mYthos

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Deine Rechenschritte sind richtig, bis auf eine Kleinigkeit: Die Wurzel hat zwei Vorzeichen! Tja, und wie zeichnet man das nun? So, wie jede andere Funktion auch gezeichnet wird. Wenn man zunächst noch keine Vorstellung hat, dann erstellt man eben einige Wertepaare und zeichnet die zugehörigen Punkte in ein Koordinatensystem.

Diese Funktionsgleichung ist jedoch ganz gut einzuordnen: Es ist eine um 1/2 nach links in x-Richtung verschobene Parabel.

mY+

05.11.2009, 14:56

SteveD

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aber wenns wie jede andere funktion gezeichnet wird ist es doch nicht in der komplexen ebene, oder? muss ich die funktion dann vielleicht noch an der achse die parallel zur y- achse bei - 1/2 ist spiegeln? denn bei den komplexen zahlen gibts ja auch wurzeln von minus zahlen

06.11.2009, 01:09

mYthos

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Du solltest dir klarmachen, was x und y überhaupt sind! Nämlich reelle Zahlen, die den Real- und Imaginärteil einer komplexen Zahl bezeichnen. Nur für deren Zusammenhang wurde die reelle Funktion, deren Graph die Parabel ist, bestimmt. Die Ebene (x; iy) selbst ist durchaus schon die komplexe Zahlenebene, denn die komplexen Zahlen der Lösung sind vom Nullpunkt ausgehende Pfeile, deren Spitzen auf der Parabel liegen.

Also nimm Punkte auf der Parabel an und erstelle dazu jeweils die dazu korrespondierenden komplexen Zahlen an (x .. Realteil, f(x) = y .. Imaginärteil) und teste damit die Relation in der Angabe. Mache dies z.B. für die Zahlen

-1/2; i; 4 + 3i

und dir wird dabei (hoffentlich) ein Licht aufgehen.

mY+

06.11.2009, 18:42

SteveD

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achso okay danke schön ^^

dann kann das Thema auch geschlossen werden, hab dann zu dem Thema keine Fragen mehr, danke nochmals

15.11.2010, 18:13

Kretos

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Hi Leute

Eine kurze Frage noch:

"
dann: $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^{2} + y^{2}} = x + 1 \end{eqnarray*}$

dann: $\begin{eqnarray*} x^{2} + y^{2} = (x+1)^{2} \end{eqnarray*}$
"

Darf man hier einfach quadrieren? Eigentlich ist das doch keine Äquivalenzumformung, oder?
Und was ist, wenn es eine Ungleichung wäre?

LG

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15.11.2010, 18:17

Huy

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Du darfst quadrieren, aber es ist keine Äquivalenzumformung.

MfG

15.11.2010, 18:23

Kretos

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Und wenn ich eine Ungleichung habe?
Sagen wir mal (fällt mir gerade gaaanz spontan so ein ^^):

$\begin{eqnarray*} y^{2} <= x - x^{2} \end{eqnarray*}$

Also das soll "kleiner gleich" heißen, falls das gleich nicht passt..
Muss ich hier irgendwie doppelt auflösen, wenn ich jetzt die Wurzel ziehe und dabei das Zeichen umdrehen? Oder bleibt das Zeichen bestehen und ich hab einfach nur +-?

Wie sieht das umgekehrt aus, wenn ich eine Ungleich quadriere? Entstehen zwei Ungleichungen?

15.11.2010, 18:28

Huy

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Wenn du eine Ungleichung hast, dann darfst du quadrieren, wenn beide Seiten positiv sind. Wenn beide Seiten negativ sind, wird das Ungleichheitszeichen vertauscht und wenn nur eine Seite negativ ist, dann musst du dir den Betrag anschauen. Wurzel ziehen ist dagegen - wenn ich gerade nichts übersehe - kein Problem.

MfG

15.11.2010, 19:54

Kretos

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Also mit meiner ersten Aufgabe bin ich durch..

Aber jetzt kommt die zweite, die ich nicht so richtig gezeichnet kriege:

$\begin{eqnarray*} y \leq +- \sqrt{x-x^{2}} \end{eqnarray*}$
Die Wurzelfunktion sieht aus wie ein Kreis mit dem Radius 0,5 und dem Mittelpunkt x=0,5.
Aber welche y sind denn "kleiner gleich"? Einfach die gesamte Fläche unter dem unteren Teil des Kreises mit den Grenzen x=0 und x=1?

Und wenn ihr schonmal dabei seid smile

smile

:
Hat einer nen Tipp wie ich $\begin{eqnarray*} 1 \leq |z-4+i| < 2 \end{eqnarray*}$ nach y aufgelöst kriege?

16.11.2010, 11:03

Kretos

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Zitat:

Original von Kretos
Aber jetzt kommt die zweite, die ich nicht so richtig gezeichnet kriege:

$\begin{eqnarray*} y \leq +- \sqrt{x-x^{2}} \end{eqnarray*}$
Die Wurzelfunktion sieht aus wie ein Kreis mit dem Radius 0,5 und dem Mittelpunkt x=0,5.
Aber welche y sind denn "kleiner gleich"? Einfach die gesamte Fläche unter dem unteren Teil des Kreises mit den Grenzen x=0 und x=1?

Bin weitergekommen..
Die Auflösung durch das Wurzeln war falsch und muss wie folgt aussehen (Hint to Huy Augenzwinkern

Augenzwinkern

):

$\begin{eqnarray*} &&y^{2} \leq x-x^{2} \quad |\sqrt{~} \\&& I. y \leq +\sqrt{x-x^{2}} \\&& II. y \geq - \sqrt{x-x^{2}} \end{eqnarray*}$

Und damit wäre klar, dass meine y einfach die Fläche in dem Kreis ist.
Und das man beim Wurzeln für den zweiten (negativen) Part das Zeichen in der Ungleichung umdrehen sollte Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von Kretos
Und wenn ihr schonmal dabei seid smile :
Hat einer nen Tipp wie ich $\begin{eqnarray*} 1 \leq |z-4+i| < 2 \end{eqnarray*}$ nach y aufgelöst kriege?

Hat sich auch erledigt, habe nach einigem Rumprobieren rausgekriegt, dass man einfach von der Mitte aus seine Sachen nach rechts UND links holt und damit nachher rausbekommt:
$\begin{eqnarray*} &&I. \sqrt{1-(x-4)^2} -1 \leq y < \sqrt{4-(x-4)^2} -1 \\ &&II. -\sqrt{1-(x-4)^2} -1 \geq y > -\sqrt{4-(x-4)^2} -1 \end{eqnarray*}$

Was im Endeffekt als Zeichnung aussieht wie ein Kreisring smile

smile

Danke trotzdem für eure Mühen smile

smile

!
Ich mag Latex ^^ Und werde hier sicher jetzt etwas häufiger unterwegs sein, als Erklärbär bei der Schulmathematik und als Dummnuss bei der Hochschulmathematik Augenzwinkern

Augenzwinkern

Man liest sich

16.11.2010, 17:15

hnky

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Zitat:

Original von Kretos
Hat sich auch erledigt, habe nach einigem Rumprobieren rausgekriegt, dass man einfach von der Mitte aus seine Sachen nach rechts UND links holt und damit nachher rausbekommt:
$\begin{eqnarray*} &&I. \sqrt{1-(x-4)^2} -1 \leq y < \sqrt{4-(x-4)^2} -1 \\ &&II. -\sqrt{1-(x-4)^2} -1 \geq y > -\sqrt{4-(x-4)^2} -1 \end{eqnarray*}$

Was im Endeffekt als Zeichnung aussieht wie ein Kreisring smile

smile

hallo,

ich hänge gerade an der gleichen aufgabe fest, und sehe nicht, wie du auf diese lösung kommen konntest.

mir ist klar, dass sich $\begin{eqnarray*} |z-4+i| \end{eqnarray*}$ umformulieren lässt zu: $\begin{eqnarray*} \sqrt{(x-4)^2+(y+1)^2} \end{eqnarray*}$ .

nur leider ist mir noch nicht ganz klar, wie du das ganze auf die obige form gebracht hast.

könntest du(oder jemand anders) das für mich erläutern?

danke schonmal im voraus.

edit: hatte wohl ein brett vorm kopf, habs hinbekommen und kann das ergebnis bestätigen smile

smile

17.11.2010, 04:04

minizicke1306

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guten morgen smile

smile

auch ich bin Studentin an der RWTH und sitze vor der gleichen Aufgabe.

Ich habe allerdings da ein Minus drin, was mir so gar nicht in den Kram passt:
$\begin{eqnarray*} |z-4+i|=|x+iy-4+i|=|(x-4)+(iy+i)|=|(x-4)^2+(iy+i)^2| \end{eqnarray*}$

Wenn ich dann nämlich die zweite Klammer auflöse erhalte ich ja $\begin{eqnarray*} i^2 \end{eqnarray*}$ und das ist ja -1.
Was habe ich falsch gemacht? Oder habe ich was übersehen?

17.11.2010, 19:20

mYthos

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Dein Fehler ist, dass in die Berechnung des Betrages nur noch die Real- und Imaginärkomponente eingehen und daher die Imaginärkomponente OHNE i zu quadrieren ist:

$\begin{eqnarray*} 1 \leq |x-4 + i(y+1)| < 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 \leq (x-4)^2 + (y+1)^2 < 4 \end{eqnarray*}$

mY+

18.11.2010, 01:23

minizicke1306

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@ mY+

Stimmt, ist ja eigentlich logisch...Dummer Denkfehler -.- Hammer

Hammer

Vielen Dank

18.11.2010, 16:03

Aenny

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RE: Mengen in der komplexen Ebene skizzieren
Kann mir jemand mal zeigen wie der Kreisring aussieht, bin mir nicht sicher ob das richtig ist????
vllt. so wie Huy das gezeigt hat nochmal für den kreisring =)
vielen dank

18.11.2010, 23:55

mYthos

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M = M(4; -1), die beiden Radien sind 2 und 1.
Kannst du das begünden?

mY+

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