Fixpunkt, Grenzzyklus

04.11.2009, 17:53	Faculty	Auf diesen Beitrag antworten »
Fixpunkt, Grenzzyklus Hallo, ich sitz hier gerade vor dieser Aufgabe und hab leider überhaupt keine Ahnung, wie ich da ran gehen soll. Würde mich freuen, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte, wie ich damit anfangen soll. Thx in Advance Faculty Sei $\begin{eqnarray} I \subset \mathbb{R} \end{eqnarray}$ abgeschlossen und nicht leer. $\begin{eqnarray} F: I \rightarrow I \end{eqnarray}$ sei kontrahierend, d.h. es gebe ein $\begin{eqnarray} k \in (0,1) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|F(x)-F(y)\| \leq k\|x-y\| \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x, y \in I \end{eqnarray}$ , und besitze den Fixpunkt $\begin{eqnarray} x^ \in I \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ werde im Rechner durch eine Abbildung $\begin{eqnarray} G: I \rightarrow I \end{eqnarray}$ von der Ordnung $\begin{eqnarray} \|F(x)-G(x)\| \leq \varepsilon \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x \in I \end{eqnarray}$ angenähert. Da der Wertebereich $\begin{eqnarray} G(I) \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ aus endlich vielen Maschinenzahlen besteht, wird die Iteration $\begin{eqnarray} x_{i+1} = G(x_i) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} i=0,1, \ldots \end{eqnarray}$ für jeden Startwert $\begin{eqnarray} x_0 \in I \end{eqnarray}$ in einen Grenzzyklus $\begin{eqnarray} y^{(1)}, y^{(2)} = G(y^{(1)}), \ldots, y^{(m)}, y^{(1)} = G(y^{(m)}) \end{eqnarray}$ der Länge $\begin{eqnarray} m \geq 1 \end{eqnarray}$ einmünden. Zeigen Sie, dass für jedes Element $\begin{eqnarray} y^* \end{eqnarray}$ aus einem solchen Grenzzyklus $\begin{eqnarray} \|x^-y^\| \leq \frac{\varepsilon}{1-k} \end{eqnarray*}$ gilt.
05.11.2009, 09:20	Dunkit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fixpunkt, Grenzzyklus Ist dir der Fixpunktsatz von Banach ein Begriff
05.11.2009, 11:31	Faculty	Auf diesen Beitrag antworten »
sagen tut's mir was, wie ich das darauf anwende, versteh ich allerdings nicht. sagt der Fixpunktsatz von Banach nicht nur was darüber aus, dass genau ein Fixpunkt existiert?
06.11.2009, 11:47	Dunkit	Auf diesen Beitrag antworten »
Unter Anderem. Zusätzlich aber auch noch die Konvergenz der entsprechenden Folge gegen diesen FP und Fehlerabschätzungen! Fixpunktsatz von Banach

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