irrational = nicht rational [indirekter Beweis]

04.11.2009, 18:09

brainless

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irrational = nicht rational [indirekter Beweis]

ich soll indirekt beweisen, dass a+b ist irrational, falls a rational und b irrational ist.

also:
$\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ rational und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ irrational $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a + b \end{eqnarray*}$ irrational

für den indirekten Beweis, muss ich doch die Aussage negieren. also allgm.:
$\begin{eqnarray*} Aussage_A \Rightarrow Aussage_B \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \neg Aussage_B \Rightarrow \neg Aussage_A \end{eqnarray*}$

für den Fall oben dann:
$\begin{eqnarray*} a + b \end{eqnarray*}$ nicht irrational $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ nicht rational und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ nicht irrational

nun will ich eigendlich nur wissen, ob meine Negation stimmt ? Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.11.2009, 18:45

papahuhn

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RE: irrational = nicht rational [indirekter Beweis]
$\begin{eqnarray*} \pi + (-\pi) = 0 \end{eqnarray*}$

04.11.2009, 18:57

Mystic

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@papahuhn

Wie kann $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ zugleich rational und irrational sein? Wohl nur eines von beiden, wobei ich auf letzteres tippe... Big Laugh

Big Laugh

@brainless

Die Negation von a+b ist irrational ist einfach, dass a+b rational ist, wobei a natürlich weiterhin rational und b irrational bleibt... Warum in aller Welt sollte sich daran was geändert haben? verwirrt

verwirrt

04.11.2009, 18:59

brainless

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RE: irrational = nicht rational [indirekter Beweis]
$\begin{eqnarray*} a + b \end{eqnarray*}$ rational $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ irrational und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ rational

ich weiß nicht inwiefern mir deine Rechnung weiterhelfen kann?
ich wollte bloß wissen, ob der Ansatz für einen indirekten Beiweis richtig ist ?!

04.11.2009, 19:04

Lord ...

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RE: irrational = nicht rational [indirekter Beweis]
0 ist rational.

Pi ist irrational

Pi minus Pi ergibt Null.

D.H. aus a+b ist rational folgt nicht, dass a rational sein muss

analog zeigt man mit 1-1=0, dass auch b nicht irrational sein muss

Dein Ansatz ist also falsch

04.11.2009, 19:04

Mystic

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Der Anfang des indirekten Beweises geht, so:

Angenommen, a wäre rational und b irrational, aber c=a+b wäre rational... Dann würde aber gelten

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$ (hier dein Argument einfügen)

d.h., b wäre rational, entgegen der Voraussetzung, Widerspruch! Also muss c irrational sein...

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04.11.2009, 19:21

papahuhn

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Nanu, ich hab beide male irrational gelesen. geschockt

geschockt

04.11.2009, 19:26

brainless

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verwirrt

wir hatten uns aufgeschrieben bei indirekte beweise:

$\begin{eqnarray*} Aussage_A \Rightarrow Aussage_B \end{eqnarray*}$ ist äquivalten zu $\begin{eqnarray*} \neg Aussage_B \Rightarrow \neg Aussage_A \end{eqnarray*}$

Aussage_A: a rational und b irrational
und ist dann nicht die Negation von Aussage_A:
a irrational und b rational ? Erstaunt2

Erstaunt2

04.11.2009, 19:38

Cel

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Ich denke, du müsstest das "und" auch noch zu einem "oder" negieren ...

04.11.2009, 20:50

brainless

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achso wird bei der Negation aus einem "und" ein "oder" ? das wusste ich nicht smile

smile

ist das immer so?

Edit: mir kam das ganz oben auch komisch vor, deswegen habe ich hier ja nachgefragt..

04.11.2009, 21:02

Mystic

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Nochmals: Es geht heir nicht um die Negation der Aussage

$\begin{eqnarray*} a \in \mathbb Q \land b \not \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$

was dann tatsächlich ganz einfach

$\begin{eqnarray*} a \not \in \mathbb Q \lor b \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$

wäre, es geht hier bei diesem indirekten Beweis um die Negation der Aussage

$\begin{eqnarray*} a+b \not \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$

und die ist schlicht und einfach

$\begin{eqnarray*} a+b \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$

04.11.2009, 21:04

Lord ...

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Ganz genau.

nicht(A und B) ist äquivalent zu (nicht A oder nicht B)

und

nicht(A oder B) ist äquivalent zu (nicht A und nicht B)

05.11.2009, 16:33

brainless

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jetzt versteh ich Big Laugh

Big Laugh

ich mache einen "Beweis durch Widerspruch" statt die Aussagen zu negieren.. Beweis durch Widerspruch ist ja auch ein "indirekter Beweis"

also im Klartext:
Annahme: $\begin{eqnarray*} a + b \end{eqnarray*}$ ist nicht irrational $\begin{eqnarray*} \Rightarrow a + b \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , welche teilerfremd sind und für die gilt: $\begin{eqnarray*} a + b = \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$

da $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ rational ist $\begin{eqnarray*} \Rightarrow a \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , welche teilerfremd sind und für die gilt: $\begin{eqnarray*} a = \frac{r}{s} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{r}{s} + b = \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ oder auch: $\begin{eqnarray*} q \cdot (\frac{r}{s} + b) = p \end{eqnarray*}$

jetzt weiß ich nicht weiter.. wie hilft mir, dass $\begin{eqnarray*} b \not \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ist weiter damit ich darauf komme, dass $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ doch nicht teilerfremd sind bzw. dass $\begin{eqnarray*} a + b \end{eqnarray*}$ doch nicht rational ist?

08.11.2009, 13:45

brainless

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an dieser Stelle weiß ich leider nicht weiter traurig

traurig

$\begin{eqnarray*} \frac{r}{s} + b = \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ oder auch: $\begin{eqnarray*} q \cdot (\frac{r}{s} + b) = p \end{eqnarray*}$

jetzt weiß ich nicht weiter.. wie hilft mir, dass $\begin{eqnarray*} b \not \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ist weiter damit ich darauf komme, dass $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ doch nicht teilerfremd sind bzw. dass $\begin{eqnarray*} a + b \end{eqnarray*}$ doch nicht rational ist? Erstaunt2

Erstaunt2

kann mir vllt kmd ein tipp geben?

08.11.2009, 14:08

Huggy

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Nun mach dir die Sache doch nicht so schwer. Sei

a rational
b irratianal
c = a + b (*)

Zu beweisen: c irrational

Widerspruchsbeweis

Annahme: c rational

Aus (*) folgt:

b = c - a

Auf der rechten Seite stehen gemaß Annahme zwei rationale Zahlen und die Differenz zweier rationaler Zahlen ist ???

Also Widerspruch!

08.11.2009, 14:37

brainless

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danke

Freude

habe mal wieder zu kompliziert gedacht unglücklich

unglücklich

08.11.2009, 15:04

Mystic

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Zitat:

Original von brainless
an dieser Stelle weiß ich leider nicht weiter traurig

traurig

$\begin{eqnarray*} \frac{r}{s} + b = \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ oder auch: $\begin{eqnarray*} q \cdot (\frac{r}{s} + b) = p \end{eqnarray*}$

jetzt weiß ich nicht weiter.. wie hilft mir, dass $\begin{eqnarray*} b \not \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ist weiter damit ich darauf komme, dass $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ doch nicht teilerfremd sind bzw. dass $\begin{eqnarray*} a + b \end{eqnarray*}$ doch nicht rational ist? Erstaunt2

Erstaunt2

kann mir vllt kmd ein tipp geben?

Das war vollkommen in Ordnung bis dahin, es geht dann weiter mit

$\begin{eqnarray*} b=\frac pq - \frac rs = \frac {ps-qr}{qs} \in \mathbb Q \quad \text{Widerspruch!} \end{eqnarray*}$

08.11.2009, 16:52

brainless

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Zitat:

Original von Mystic

Zitat:

Original von brainless
an dieser Stelle weiß ich leider nicht weiter traurig

traurig

$\begin{eqnarray*} \frac{r}{s} + b = \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ oder auch: $\begin{eqnarray*} q \cdot (\frac{r}{s} + b) = p \end{eqnarray*}$

jetzt weiß ich nicht weiter.. wie hilft mir, dass $\begin{eqnarray*} b \not \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ist weiter damit ich darauf komme, dass $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ doch nicht teilerfremd sind bzw. dass $\begin{eqnarray*} a + b \end{eqnarray*}$ doch nicht rational ist? Erstaunt2

Erstaunt2

kann mir vllt kmd ein tipp geben?

Das war vollkommen in Ordnung bis dahin, es geht dann weiter mit

$\begin{eqnarray*} b=\frac pq - \frac rs = \frac {ps-qr}{qs} \in \mathbb Q \quad \text{Widerspruch!} \end{eqnarray*}$

danke die variante gefällt mir besser Freude

Freude

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