Wahrscheinlichkeitsrechung

29.09.2006, 16:40

Frankster

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Wahrscheinlichkeitsrechung

Hi!

Bei folgendem Bsp weiss ich nicht wie mans richtig lösen muss.

Es seien 4 Urnen mit je 3 Kugeln vorhanden.
1: Urne : 3 schwarze Kugeln
2: Urne : 2 schwarze, 1 weiße Kugel
3: Urne : 1 schwarze, 2 weiße Kugeln
4: Urne : 3 weiße Kugeln
Jemand wählt zufällig eine Urne und zieht daraus eine Kugel (ohne Zurücklegen), die sich als weiß erweist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß wenn er nochmals in dieselbe Urne greift,wieder eine weiße Kugel zieht?
------------------------------------------------------------------------------------------------

Urne1 fällt weg.
Wenn er aus Urne2 gezogen hat ist P, dass nochmal weiss = 0
Wenn er aus Urne3 gezogen hat ist P, dass nochmal weiss = 1/2
Wenn er aus Urne4 gezogen hat ist P, dass nochmal weiss = 1

P(U2)=1/3
P(U3)=1/3
P(U4)=1/3

P(U2|w) = 0
P(U3|w) = 1/2
P(U4|w) = 1

P(w|U3) = [P(U3)*P(U3|w)]/[P(U3)*P(U3|w)+P(U4)*P(U4|w)]=0,3333
P(w|U4) = [P(U4)*P(U4|w)]/[P(U3)*P(U3|w)+P(U4)*P(U4|w)]=0,6666

0,3333*0,6666=0,2222

HILFE Augenzwinkern

Augenzwinkern

Vielen dank im voraus
Frankster

30.09.2006, 07:54

xrt-Physik

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Man macht es auch, indem man Wahrscheinlichkeiten verknüpft.

Für jede Urne aus den Urnen U2, U3 und U4 gilt die Wahrscheinlichkeit
1/3.

In Urne 2 ist die Wahrscheinlichkeit gleich null, dass noch eine weiße
Kugel gezogen wird. Dann rechnet man: 1/3mal0 = 0

Und für Urne 3 ist sie 1/2, also: 1/3mal1/2 = 1/6

Urne 4 hat die Wahrscheinlichkeit 1, also: 1/3mal1 = 1/3

Addiert man nun alle Wahrscheinlichkeiten, kommt man auf das Ergebnis!

30.09.2006, 11:09

JochenX

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Zitat:

Original von xrt-Physik
Für jede Urne aus den Urnen U2, U3 und U4 gilt die Wahrscheinlichkeit
1/3.

Das ist falsch, es geht hier um bedingte Wahrscheinlichkeit.

[at] Threadstarter:
Berechne je P(Urne .... unter der Bedingung weiße Kugel) nach Formel der bedingten Wahrscheinlichkeit.
Danach müsstest du dann ähnlich wie xrt weiterrechnen.

[Gegebenenfalls, aber das könnte auch falsch sein, vielleicht ist auch jede der 6 weißen Kugeln mit gleicher Wahrscheinlichkeit die gezogene....... aber da lehne ich mich zu weit aus dem Fenster, als das ich behaupten könnte, dass das stimmt; rechne es wie oben und vergleiche dann das Ergebnis mit P=2/3]

30.09.2006, 12:20

Frankster

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Ok ich versuche nochmals mein Glück Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} P(w|U2) =\frac{P(w\cap U2)}{P(U2)}=\frac{0}{\frac{1}{3}}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(w|U3) =\frac{P(w\cap U3)}{P(U3)}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}}=0,1666666 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(w|U4) =\frac{P(w\cap U4)}{P(U4)}=\frac{1}{\frac{1}{3}}=0,3333333 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0+0,1666666+0,333333=0,5 \end{eqnarray*}$

Stimmt das so ?

Mfg
Frankster

30.09.2006, 12:47

JochenX

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hmmm, nein, du musst ja erst mal "rausfinden" (bzw. besser die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen), dass du Urne Nr. Xyz gewählt hattest.

Also anfangen mit:
$\begin{eqnarray*} P(U_1|w)=... \end{eqnarray*}$ , dabei bedeutet das w jetzt weiß im ersten Zug, denn das ist ja vorgegeben.

30.09.2006, 13:41

Frankster

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OK
Versuch Nr2

$\begin{eqnarray*} P(U1|w)=\frac{P(U1\cap w)}{P(w)}=\frac{0}{1}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(U2|w)=\frac{P(U2\cap w)}{P(w)}=\frac{\frac{1}{3}}{1}=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(U3|w)=\frac{P(U3\cap w)}{P(w)}=\frac{\frac{2}{3}}{1}=\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(U4|w)=\frac{P(U4\cap w)}{P(w)}=\frac{\frac{3}{3}}{1}=1 \end{eqnarray*}$

P, dass ich nochmals eine weisse aus Urne1 ( $\begin{eqnarray*} 0*0 \end{eqnarray*}$ ) ziehen = 0

P, dass ich nochmals eine weisse aus Urne2 ( $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}*0 \end{eqnarray*}$ ) ziehen = 0

P, dass ich nochmals eine weisse aus Urne3 ( $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}*\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ )ziehen = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

P, dass ich nochmals eine weisse aus Urne4 ( $\begin{eqnarray*} 1*1) \end{eqnarray*}$ ziehen = 1

Also addieren sollte ich die Werte jetzt nicht, weil sonst ist P_ges > 1

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30.09.2006, 14:08

JochenX

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warum ist denn P(w) immer =1?
Die Wahrscheinlichkeit, im ersten Zug w zu ziehen ist sicher nicht 1.

30.09.2006, 14:11

Frankster

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Wieso ?

Es steht ja, dass er im beim 1. ziehen eine weisse Kugel gezogen hat.

30.09.2006, 14:24

JochenX

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Dann machen Aussagen wie "Wahrscheinlichkeit von XYZ unter der Bedingung ABC" nie Sinn, denn dann steht ja schon ABC da, also kann man P(ABC)=1 setzen!?
Wohl kaum. Sonst wäre die Formel etwas einfacher.

Wikipedia - vielleicht hilft's.

30.09.2006, 15:26

Frankster

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10 Kugeln
5 schwarze
5 weisse
$\begin{eqnarray*} P(w)=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Ersetzt man den Wert "1" bei P(w) von dem jetzigen Wert [latex]\frac{1}{2}[l/atex] kommen folgende Werte raus

P(U1|w)=0
P(U2|w)=2/3
P(U3|w)=4/3 <-------- ????????????????????
P(U4|w)=1/2

Sollte das auch nicht stimmen, bin ich mit meiner Weisheit am ende

30.09.2006, 15:39

JochenX

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P(A|B) kann NIE größer als 1 werden, denn P(A Schnitt B) ist <= P(B) mit weniger Bedingungen.
4/3 KANN da also nie rauskommen, wenn du es in die Formel einsetzt.

Wie groß ist denn P(U3 geschnitten w)? [w bedeutet dabei immer noch w im ersten Zug]

30.09.2006, 16:12

Frankster

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OK
Ich hab einen anderen Ansatz Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} P(w)=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(U1|w)=\frac{P(U1\cap w)}{P(w)}=\frac{\frac{0}{10}}{\frac{1}{2}}=0 \end{eqnarray*}$
0 von 10 Kugeln liegen in der Schnittmenge

$\begin{eqnarray*} P(U2|w)=\frac{P(U2\cap w)}{P(w)}=\frac{\frac{1}{10}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{5} \end{eqnarray*}$
1 von 10 Kugel liegen in der Schnittmenge

$\begin{eqnarray*} P(U3|w)=\frac{P(U3\cap w)}{P(w)}=\frac{\frac{2}{10}}{\frac{1}{2}}=\frac{2}{5} \end{eqnarray*}$
2 von 10 Kugeln liegen in der Schnittmenge

$\begin{eqnarray*} P(U4|w)=\frac{P(U4\cap w)}{P(w)}=\frac{\frac{3}{10}}{\frac{1}{2}}=\frac{3}{5} \end{eqnarray*}$
3 von 10 Kugeln liegen in der Schnittmenge

$\begin{eqnarray*} 0*0+\frac{1}{5}*0+\frac{2}{5}*\frac{1}{2}+\frac{3}{5}*1=0,8 \end{eqnarray*}$

30.09.2006, 16:29

JochenX

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Es sollte die Summe $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{4}~P(U_i|w)=1 \end{eqnarray*}$ sein.
Für $\begin{eqnarray*} P(U_2 \cap w) \end{eqnarray*}$ bekomme ich auch nicht 1/10, sondern 1/12.
Da sind weiterhin also Rechenfehler drin. Wo diese Zehntel überhaupt herkommen.... frage ich mich sowieso.

edit:
Wenn du aus allen /10 /12 machst (1/4*x/3=x/12), dann scheint die obere Rechnung zu stimmen.

30.09.2006, 17:03

Frankster

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Ahhhhhhhhhhhhhhhhhh!

Ich depp hab am schluss geglaubt dass es nur 10 Kugeln gibt, anstatt 12
daher kam ich auf /10

Ich hätte mir die Angabe nochmals durchlesen sollen

Mahhh, so ein blöder Fehler unglücklich

unglücklich

30.09.2006, 18:27

JochenX

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Passiert.... auf was kommst du dann als Ergebnis, wenn du so weiterrechnest wie oben?
mal sehen:
0,8... mal zehn, durch 12, eins im Sinn..... müssten die 2/3 rauskommen, die ich oben prophezeiht habe.

Wenn wir also jetzt nicht beide noch einen weiteren Denkfehler drin haben, müssten die 2/3 stimmen.

30.09.2006, 18:36

Frankster

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Jep!

$\begin{eqnarray*} P(U1|w)=\frac{P(U1\cap w)}{P(w)}=\frac{\frac{0}{12}}{\frac{1}{2}}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(U2|w)=\frac{P(U2\cap w)}{P(w)}=\frac{\frac{1}{12}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(U3|w)=\frac{P(U3\cap w)}{P(w)}=\frac{\frac{2}{12}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(U4|w)=\frac{P(U4\cap w)}{P(w)}=\frac{\frac{3}{12}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P=0*0+\frac{1}{6}*0+\frac{1}{3}*\frac{1}{2}+\frac{1}{2}*1=\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

Danke vielmals!

Mfg
Frankster

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