Aufgabe mit Exponentialverteilung

05.11.2009, 11:42

JanaS

Aufgabe mit Exponentialverteilung

Hallo!

Ich habe eine Aufgabe mit einer Exponentialverteilung als Grundlage. Zwei Angestellte bekommen gleichzeitig einen Kunden und machen einen Wettbewerb, wer einen Kunden schneller bedienen kann. Die Verteilung der Bedienzeit ändert sich nicht und die Zeiten der beiden Angestellten sind unabhängig voneinander. Was ist die erwartet Gewinnerzeit? (ich persönlich finde die gestellte Aufgabe ja grottenschlecht, denn es geht beim Bedienen ja nicht um Zeit, sondern um Kundenfreundlichkeit und Erfolg... aber was solls).

Kann mir jemand bitte mal einen Ansatz zeigen, wie ich an diese Aufgabe herangehen soll? Falls das wichtig ist, ich habe im ersten Teil der Aufgabe (den ich schon gelöst habe) ein Lambda bestimmt, weiss aber nicht, ob ich das für diesen Teil verwenden soll.

Vielen Dank!

Viele Grüsse von Jana

05.11.2009, 13:02

Cel

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Du hast eine Exponentialverteilung. Und das Wort "erwartete" weist auf den Erwartungswert hin, denke ich. Was ist denn der Erwartungswert einer Exponentialverteilung mit Parameter Lambda? Wenn du das weisst, bist du fertig. Wenn nicht, musst du wohl rechnen. Augenzwinkern

05.11.2009, 13:57

Huggy

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Zitat:

Original von Mr. Brightside
Du hast eine Exponentialverteilung.

Das ist so ohne weiteres nicht klar. Man hat zwei Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X_2 \end{eqnarray*}$ , die unabhängig sind und die die gleiche Verteilungsfunktion haben. Die Gewinnerzeit ist das Minimuum von $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X_2 \end{eqnarray*}$ . Wenn nun $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X_2 \end{eqnarray*}$ gleichverteilt wären, wäre $\begin{eqnarray*} Y=Min \{X_1, X_2 \} \end{eqnarray*}$ durchaus nicht gleichverteilt

Es ist also zunächst die Verteilungsfunktion von $\begin{eqnarray*} Y=Min \{X_1, X_2 \} \end{eqnarray*}$ zu bestimmen und dannn $\begin{eqnarray*} E(Y) \end{eqnarray*}$ .

Damit gilt:

$\begin{eqnarray*} Y \leq t \end{eqnarray*}$ dürfen $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X_2 \end{eqnarray*}$ nicht beide größer t sein. Das schreibt formal hin

$\begin{eqnarray*} P(Y \leq t) = ... \end{eqnarray*}$

und benutzt die Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X_2 \end{eqnarray*}$ . Damit hat man die Verteilungsfunktion von $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ auf die Verteilungsfunktionen von $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X_2 \end{eqnarray*}$ zurückgeführt.

05.11.2009, 15:43

JanaS

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Dankeschön! Der Erwartungswert ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{lambda} \end{eqnarray*}$ .

Viele Grüsse von Jana

05.11.2009, 15:44

JanaS

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Huggy, die Grundlage der Aufgabenstellung ist doch eine Exponentialfunktion, also die Bedienzeit ist exponentialverteilt steht in der Aufgabenstellung.

Viele Grüsse, Jana

05.11.2009, 16:20

Huggy

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Zitat:

Original von JanaS
Huggy, die Grundlage der Aufgabenstellung ist doch eine Exponentialfunktion, also die Bedienzeit ist exponentialverteilt steht in der Aufgabenstellung.

Viele Grüsse, Jana

Die einzelne Bedienzeit ist zwar exponentialverteilt, hier ist aber nach dem Minimum von zwei Bedienzeiten gefragt. Das ist tatsächlich auch exponentialverteilt, aber das muss man erst mal zeigen. Und die Exponentialverteilung des Minimums hat nätürlich ein anderes $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ als die Verteilung der einzelnen Bedienzeit.

Deshalb ist $\begin{eqnarray*} 1/\lambda \end{eqnarray*}$ falsch, wenn damit das $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ der einzelnen Bedienzeit gemeint ist.

05.11.2009, 16:35

Cel

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Selbstverständlich, entschuldige Bitte die Verwirrung. Natürlich hat Huggy vollkommen recht und seine Tipps sollten ausreichen, auf das richtige zu kommen. Vielleicht noch kurz das hier:

$\begin{eqnarray*} P(Y \le t) = P(X_1 \le t, X_2 \le t) = \ldots \end{eqnarray*}$

Hier spielt jetzt, wie Huggy bereits schrieb, die Unabhängigkeit rein ...

05.11.2009, 16:44

Huggy

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Zitat:

Original von Mr. Brightside
$\begin{eqnarray*} P(Y \le t) = P(X_1 \le t, X_2 \le t) = \ldots \end{eqnarray*}$

Das stimmt nicht.
Damit das Minimum kleiner t ist, genügt es, wenn $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} X_2 \end{eqnarray*}$ kleiner t ist. Es müssen nicht beide kleiner t sein.

05.11.2009, 17:14

Cel

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Mhhh ...
Ah, jetzt weiss ich wieder. An der Uni haben wir eine ähnliche Aufgabe gemacht, wo es um das Maximum ging, und dann haben wir die Verteilung vom Minimum darauf zurückgeführt ... Ginge das hier dann auch? Für das Maximum würde meine erste Umformung doch stimmen, oder?

05.11.2009, 18:31

Huggy

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Ja, wenn Y das Maximum wäre, müssten beide Werte kleiner t sein

14.12.2009, 10:02

JanaS

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Sorry, wenn ich diese alte Aufgabe jetzt nochmal aufgreife. Aber ich habe sie leider immer noch nicht verstanden.
Also, ich habe zwei Angestellte, von denen jeder einen eigenen Kunden bedient. Ich habe in Aufgabenteil (a) ein $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ bestimmt für die 50%ige Wahrscheinlichkeit, dass ein Angestellter einen Kunden in weniger als 3 Minuten bedient. Heraus kam $\begin{eqnarray*} \lambda = 0,2310 \end{eqnarray*}$ .
Jetzt in Teil [b] habe ich zwei Angestellte, die mit diesem $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ihre Kunden bedienen. Beide Funktionen sind identische Exponentialfunktionen und wenn ich die addiere, habe ich immer noch eine Exponentialfunktion. Und eine Exponentialfunktion bleibt abgeleitet immer noch eine Exponentialfunktion und hat doch kein Minimum... verwirrt

Beide Funktionen sind unabhängig voneinander. Das heisst, wenn ich Verkäufer A betrachte, ist die erwartete Zeit $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ . Und wenn ich Verkäufer B anschaue, ist die erwartete Zeit ebenfalls $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ . Wie kann ich denn da etwas über eine Gewinnerzeit aussagen??? Beide Bedienvorgänge haben eine Erwartungszeit und mehr Informationen gibt es doch nicht...

Viele Grüsse, Jana

14.12.2009, 11:22

Huggy

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Also dann mal ganz, ganz, ganz ausführlich!

Der Anfang ist völlig unabhängig von der Verteilung der Bedienzeiten.
$\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X_2 \end{eqnarray*}$ seien die Bedienzeiten der beiden Angestellten. $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ sei die Gewinnerzeit. $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ ist also die kleinere der beiden Zeiten:

$\begin{eqnarray*} Y=Min\{X_1, X_2\} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Und eine Exponentialfunktion bleibt abgeleitet immer noch eine Exponentialfunktion und hat doch kein Minimum...

Dieses Minimum hat nicht das geringste mit einem eventuellen Minimum der Dichtefunktion von $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} X_2 \end{eqnarray*}$ zu tun.

Es ist also die Verteilung von $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ zu bestimmen und dann deren Erwartungswert $\begin{eqnarray*} E(Y) \end{eqnarray*}$ . Gesucht ist also zunächst $\begin{eqnarray*} P(Y\leq t) \end{eqnarray*}$ . Damit $\begin{eqnarray*} Y\leq t \end{eqnarray*}$ gilt, dürfen nicht $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X_2 \end{eqnarray*}$ beide größer t sein. Es gilt daher:

$\begin{eqnarray*} P(Y\leq t)=1-P(X_1 > t \cap X_2 > t) = 1- P(X_1 > t) \cdot P(X_2 > t) \end{eqnarray*}$

Das rechte Gleichheitszeichen ergibt sich aus der Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X_2 \end{eqnarray*}$ . Es ergibt sich daraus:

$\begin{eqnarray*} P(Y\leq t) = 1- P(X_1 > t) \cdot P(X_2 > t) = 1- (1-P(X_1 \leq t) \cdot (1-P(X_2 \leq t)=P(X_1\leq t)+P(X_2 \leq t)-P(X_1 \leq t) \cdot P(X_2 \leq t) \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du die gegebene Verteilungsfunktion einsetzen:

$\begin{eqnarray*} P(X_1 \leq t)=P(X_2 \leq t) = 1-e^{-\lambda t} \end{eqnarray*}$

Nun hoffe ich mal für dich, dass du den Rest der Rechnung alleine schaffst.

14.12.2009, 15:06

JanaS

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Hallo Huggy,

vielen Dank für Deine Hilfe!

Ich habe jetzt $\begin{eqnarray*} P(Y\leq t)=F(t)=1-e^{-2\lambda t} \end{eqnarray*}$ ausgerechnet. Dann leite ich ab und erhalte $\begin{eqnarray*} f(t)=2 \lambda e^{-2\lambda t} \end{eqnarray*}$ .

Der Erwartungswert für die Exponentialfunktion $\begin{eqnarray*} f(t)=2\lambda e^{-2 \lambda t} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2 \lambda} \end{eqnarray*}$ .

Stimmt das jetzt so???

14.12.2009, 16:08

Huggy

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Das stimmt! Freude

14.12.2009, 16:30

JanaS

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Hätte man das ganze auch einfach über die Linearität des Erwartungswertes begründen können? Also $\begin{eqnarray*} E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X=Y=\lambda \end{eqnarray*}$ ? Somit hätte man $\begin{eqnarray*} E(2\lambda)=\frac{1}{2\lambda} \end{eqnarray*}$ .

14.12.2009, 17:12

Huggy

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Das ist konfus und Unsinn.

Erstens ist $\begin{eqnarray*} Y=Min\{X_1, X_2\}\neq X_1+X_2 \end{eqnarray*}$ .
Und wenn $\begin{eqnarray*} Y= X_1+X_2 \end{eqnarray*}$ gelten würde, hätte man

$\begin{eqnarray*} E(Y)=E(X_1)+E(X_2)=\frac{1}{\lambda}+\frac{1}{\lambda}=\frac{2}{\lambda}\neq \frac{1}{2\lambda} \end{eqnarray*}$

Und was soll denn $\begin{eqnarray*} X=\lambda \end{eqnarray*}$ bedeuten? $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist eine Zufallsgröße und $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ist eine Zahl. Das sind Größen unterschiedlicher Art, die man nicht einfach gleichsetzen kann. Vielleicht meinst du $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist exponentialverteilt mit Parameter $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ . Das kann man aber keinesfalls als $\begin{eqnarray*} X=\lambda \end{eqnarray*}$ schreiben.

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