Unendlich viele Primzahlen - Bildungsformel

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Tawnos Auf diesen Beitrag antworten »
Unendlich viele Primzahlen - Bildungsformel
Hallo ihr Mathebegeisterten

Ich habe wie so oft ein Problem ohne groß zu wissen ich da rangehen soll.

Die Aufgabe lautet:
Zeigen Sie: Es gibt unendlich viele Primzahlen der Form Natürliche Zahlen

Ich habe schon eine Weile rumgesucht und bin dabei unter anderem auf http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=390655&hilight=primzahl+beweis und auf Unendl.viele Primzahlen modulo Ende Seite 6 gestoßen.

Ich habe versucht zu verstehen was da gemacht wurde, aber es fiel mir sehr schwer, weil ich so ziemlich alles von dem was da angewendet wurde, noch garnicht kenne.

Ich weiss zunächst einmal nicht, ob ich deren Herleitung überhaupt zu Rate ziehen soll, da dort bearbeitet wird und ich nicht weiss, ob ich das äquivalent zu meinem mit "-" behandeln kann.

Dann wüsste ich gerne, ob das der einzige richtige Weg ist, denn icch bezweifle, dass dieser von uns für die Übung erwartet wird, wenn er es ist werde ich aber trotzdem mal versuchen ihn komplett nachzuvollziehen.

Womit ich auch überhaupt nicht klarkomme ist das verwendete Trinom, was hat es damit aufsich? Ich habe es auch schon bei einem artähnlichen Beweis für gesehen.

Ich würde mich wie immer über jegliche Anregung freuen.

So far
lg
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unendlich viele Primzahlen - Bildungsformel
Hallo!

Primzahlen haben die beiden "Formen" (6k + 1) oder (6k - 1). Andere Formen (Sechserreste) gibt es nicht (wieso?).

Wenn du das registriert hast, kannst du den Beweis angehen:


Annahme: es ex. nur endlich viele Primzahlen der Form (6k - 1).

Nun nimm alle diese Primzahlen her, multipliziere sie und addiere 1 dazu. Welche Gestalt hat diese Zahl, wie sieht ihre Primfaktorzerlegung aus?

Jetzt vergleiche: wie sieht ein Produkt von Primzahlen des Typs (6k+1) aus, fällt dir dabei was auf?

Dein Ziel ist es, einen Widerspruch zu folgern.

Grüße Abakus smile
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

5 ist eine Primzahl der Form 6k-1..Angenommen es gäbe nur diese eine, dann wäre das Produkt aller Primzahlen der Form 6k-1 gerade 5, um 1 vergrößert also dann 6...Man sollte daher lieber das 6-fache Produkt aller dieser Primazahlen +1 betrachten, oder besser noch -1... Augenzwinkern
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mystic
Man sollte daher lieber das 6-fache Produkt aller dieser Primazahlen +1 betrachten, oder besser noch -1... Augenzwinkern

Obwohl Tawnos den Thread angab, hat sie/er ihn wohl nicht richtig gelesen:

Unendl.viele Primzahlen modulo Augenzwinkern
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Obwohl Tawnos den Thread angab, hat sie/er ihn wohl nicht richtig gelesen:

Unendl.viele Primzahlen modulo Augenzwinkern


Das ist sicher richtig, denn in diesem Link steht ja eh schon alles...Meine Wortmeldung war aber, falls das jetzt nicht klar ist, als Korrektur zum Posting von Abakus gemeint...
Tawnos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Zitat:
Original von Mystic
Man sollte daher lieber das 6-fache Produkt aller dieser Primazahlen +1 betrachten, oder besser noch -1... Augenzwinkern

Obwohl Tawnos den Thread angab, hat sie/er ihn wohl nicht richtig gelesen:

Unendl.viele Primzahlen modulo Augenzwinkern


Das lag einfach nur daran, dass ich es nicht verstanden hatte was du schriebst.

Also ist es nun so, dass ich den Beweis über einen indirekten Beweis führe.
Anstatt zu sagen, dass es unendlich viele Primzahlen der Form gibt behaupte ich, dass es endlich viele gibt und widerlege dies im nächsten Atemzug.

Man nimmt also an, dass alle sind, daraus folgt, dass mit kein sein darf und auch nicht in liegen darf.
Denn wenn n nun eine Primzahl werden würde, würde ja eine Primzahl existieren, die die Annahme wiederlegt.
Und genau das tut man jetzt.

zB und somit ist nun aber 5 einziges Element von dann darf nun keine Primzahl sein. Doch und n damit sind wir zum Widerspruch gekommen, der besagt, dass keine endliche Menge von Primzahlen erzeugt.

Ist das soweit erstmal richtig nachvollzogen?
Und reicht denn das Gegenbeispiel um die geforderte Aussage zu zeigen?

lg
 
 
AD Auf diesen Beitrag antworten »

ist nicht notwendig eine Primzahl. Der Witz an der Sache ist, dass die Primfaktorzerlegung von nicht nur Primfaktoren der Form enthalten kann -- warum?
Tawnos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
ist nicht notwendig eine Primzahl. Der Witz an der Sache ist, dass die Primfaktorzerlegung von nicht nur Primfaktoren der Form enthalten kann -- warum?


Naja, ich habe ja auch an keiner Stelle gesagt, dass alle Ergebnisse von eine Primzahl sind, sondern nur, dass durch den Term unendlich viele, aber halt nicht nur, Primzahlen erzeugt werden.
Was eben das zum Ausdruck bringt was du mir mit vermitteln wolltest.

Aber der Sachverhalt war mir von Anfang an schon klar, weil ja zB ist (:

War es das worauf du hinaus wolltest, oder war da noch mehr?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe bei dir immer nur Beispiele, Beispiele - aber keinen Beweis, dass dieses einen Primfaktor der Form enthält. Und für eben diesen Beweis habe ich dir einen Tipp gegeben ... aber irgendwie redest du immer gern um den heißen Brei herum, statt ihn zu löffeln.
Tawnos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Ich sehe bei dir immer nur Beispiele, Beispiele - aber keinen Beweis, dass dieses einen Primfaktor der Form enthält. Und für eben diesen Beweis habe ich dir einen Tipp gegeben ... aber irgendwie redest du immer gern um den heißen Brei herum, statt ihn zu löffeln.


Ja es tut mir Leid, ich habe da noch voll keinen Durchblick.
In der Schule hatten wir eigentlich garkeine Beweise und das was die Profs machen erstmal nachzuvollziehen und es noch selber anzuwenden ist sehr schwer, vorallem wenn Schule etc. auch noch ein wenig her ist.

Ich nutze Beispiele einfach nur erstmal immer um mir Sachverhalte besser zu verdeutlichen und sie zu verstehen.
Beweise selber führen kann ich einfach noch nicht, egal wie sehr ich mich bisher versucht habe dazu zu belesen.

Und auch zu diesem fällt mir nichts ein.

Ich weiss man auch nich :/
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Betrachte, das Ganze einmal andersrum, nämlich was kannst über die Form einer Zahl aussagen, die ausschließlich Primfaktoren von der Form 6t+1 enthält? Hat diese dann die Form 6s+1, 6s-1 oder etwa keine der beiden Formen? Fang dazu am besten mal mit einer Zahl an, die sich als Produkt von nur zwei Primzahlen der Form 6t+1 schreiben läßt und versuch das dann zu verallgemeinern...

Aber biite, jetzt keine Beispiele mehr, davon haben wir jetzt wahrlich genug gesehen, da gebe ich Arthur vollkommen recht, sondern wirklich allgemeine Überlegungen, d.h., Beweise ...
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