Extremwertaufgabe, stabiles Gleichgewicht

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06.11.2009, 13:05	Stalker010	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgabe, stabiles Gleichgewicht Hallo, Die Aufgabe lautet: "Extremwertaufgabe, stabiles Gleichgewicht In eine waagerecht ausgerichtete Halbkugel mit Durchmesser d wird ein homogener Stab der Länge d gelegt. Bei welcher Lage des Stabes entsteht ein stabiles Gleichgewicht, wenn der Vorgang als reibungfrei betrachtet wird." Ich sitze jetzt schon seid 4 Tagen an dieser Aufgabe und habe sie immer noch nicht gelöst^^ Ich bin schon soweit dass ich folgende Aussagen machen kann. Die Mitte des Stabes muss über dem tiefsten Punkt (dieser Punkt variiert da sich die Halbkugel neigt) der Halbkugel liegen muss. Der Stab berührt die Kugel nur am Rand und im inneren der Kugel. Wenn man dies als normale Gleichung sieht so muss ich die Gleichung des Stabes herrausfinden oder? Dies müsste dann ja eine Geradenschar sein da es unendlich viele Möglichkeiten gibt. Und woher kriege ich die zwei Fuktionen damit ich eine Extremwertaufgabe darraus machen kann? Schon mal Danke im vorraus -samy
07.11.2009, 07:38	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, das sieht mir mehr nach einem physikalischem statt einem math. Problem aus. Verusche es doch mal im Physikerboard: http://www.physikerboard.de/index_start.php
07.11.2009, 08:33	stalker010	Auf diesen Beitrag antworten »
monotof Es sollte eigentlich eine Gfs in Mathe sein. Da ich den Physikkurs abgewählt habe denke ich dass es sich hier um ein Mathematisches Problem handekn muss, auch wenn man es erst auf eine mathematische Aufgabe projizieren muss. Ich versuch es jetzt trotzdem mal im Physikboard Dankeschön. -samy
07.11.2009, 11:19	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: monotof Das Problem ist - von der Einkleidung abgesehen - wirklich rein mathematisch und tatsächlich nur zweidimensional. [attach]11836[/attach] Der Schwerpunkt des Stabes, d. h. sein Mittelpunkt, muss sich in seiner tiefsten Lage befinden, damit die Konfiguration stabil ist. Nimm die x-Koordinate des linken Stabendes als Variable. Die y-Koordinate des Schwerpunktes als Funktion davon berechnen, ableiten, Ableitung gleich 0 setzen, Gleichung lösen, fertig.
07.11.2009, 14:41	Stalker010	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: monotof Dein Beitrag hat mich um Längen weitergebracht doch irgendwie will es immer noch nicht funktionieren. Ist die Formel für den Halbkreis richtig? (wurzel (r²-x²)) ? Könntest du die Lösung schreiben? Vielleicht verstehe ich es dann. danke -samy
07.11.2009, 16:37	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: monotof Die Formel für den Halbkreis ist richtig. Man muss nur noch das Vorzeichen richtig wählen. Ich fange mal mit der Rechnung an. Der untere Auflagepunkt habe die Koordinaten: $\begin{eqnarray} \{x, -\sqrt{1-x^2}\} \end{eqnarray}$ x liegt im Bereich [-1, 0]. Dabei ist der Radius der Halbkugel 1 gesetzt. Für einen abweichenden Radius lässt sich das Ergebnis leicht umrechnen. Der obere Auflagepunkt hat die Koordinaten: $\begin{eqnarray} \{1, 0\} \end{eqnarray}$ Damit kannst du die Steigung der Stabgeraden berechnen. Und aus Stablänge 2 bei obiger Normierung ergeben sich die Koordinaten des oberen Stabendes. Und daraus ergibt sich die Stabmitte. Versuch mal, das umzusetzen. Wenn es hakt, sehen wir weiter.
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08.11.2009, 20:12	Stalker010	Auf diesen Beitrag antworten »
Re: Also die Steigung habe ich m=(1-x) 1-a). Doch wie komme ich jetzt von der Steigung, dem innerenPunkt und dem Kantenberührpunkt auf die Koordinaten des oberen Stabendes? Mit dem Satz des Phytagoras komme ich hier nicht weiter. Und wie komme ich dann auf die Stabmitte?
08.11.2009, 21:41	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Re: Kannst du deine Steigung noch mal lesbar aufschreiben, ohne Smiley darin. Soll der für eine Klammer stehen? Und was soll das das a bedeuten? Was du da aufgeschrieben hast, sieht mir gar nicht koscher aus. Du weißt doch hoffentlich, wie man eine Steigung bestimmt!?
08.11.2009, 21:59	Stalker0100	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Re: Die Steigung lautet $\begin{eqnarray} m= \frac{r- x}{r- a} \end{eqnarray}$ . Das a ist der variable x-Wert für den Schnittpunkt im Inneren des Halbkreises. Die Steigung hab ich mit der Punkt Steigungsformel berechnet. Ich schaffe es einfach nicht die komplette Gleichung für den Stab aufzustellen, da immer der y-Achsenabschnitte fehlt. Das nächste Problem wird sein, dass ich mit dem variablen Punkt der Stabmitte keine Gleichung erstellen kann. Das Ableiten dieser Gleichung und das herrausfinden des Minimalwertes dürfte danach kein Problem sein. Könnte jemand einfach die komplette Lösung der Aufgabe posten? Das wäre sehr nett und würde zu meinem Verständniss der Aufgabe beitragen.
08.11.2009, 22:02	Stalker0100	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Re: Ich habe den Beispiel-Radius von 1 mit r ersetzt um eine allgemeine Lösung zu erhalten.
08.11.2009, 22:28	stalker010	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Re: Entschuldigung die Steigung ist falsch. Ich denke sie lautet $\begin{eqnarray} m= \frac{\sqrt{r^{2}- x^{2} } }{r- a} \end{eqnarray}$ . Ich schaffe es auch nicht mit dem Satz des Phytagoras die Koordinaten des Mittelpunktes herrauszufinden.
08.11.2009, 22:50	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Re: Zwar bekommt man auch mit r = 1 eine allgemeine Lösung, man muss ja das Ergebnis für beliebiges r zum Schluss nur mit r multiplizieren, aber wenn es dir lieber ist, lassen wir r von Anfang drin. Du musst dich mal entscheiden, ob du die x-Koordinate des unteren Auflagepunktes x oder a nennen willst. Dann ist die Steigung entweder $\begin{eqnarray} m=\frac{\sqrt{r^2-x^2}}{r-x} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} m=\frac{\sqrt{r^2-a^2}}{r-a} \end{eqnarray}$ Wenn du sie a nennst, was soll dann das x in deiner Gleichung sein? Nun zum oberen Ende oder der Mitte des Stabes. Am einfachsten geht man auf gleich auf die Mitte los. Mit der Steigung kannst du die Geradengleichung des Stabes aufstellen. In die setzt du die noch unbekannte x-Koordinate der Mitte einach als $\begin{eqnarray} x_m \end{eqnarray}$ ein und bekommst die zugehörige y-Koordinate $\begin{eqnarray} y_m \end{eqnarray}$ . Mittels des Pythagoras, der Abstand der Mitte zum unteren Ende ist ja r, ergibt sich dann $\begin{eqnarray} x_m \end{eqnarray}$ als Funktion von x (oder a) und r. Ich bin ehrlich gesagt entsetzt, dass du damit Probleme hast.
11.11.2009, 20:56	Stalker0100	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Re: Die Schritte sind mir bewusst..das Ding ist nur, dass meine Formel am Ende viel zu groß wird weil sich nichts wegfällt oder die Therme so kompliziert sind dass ich nichts wegrechnen kann. Ich habe dann 5 a und 6 r in der Rechnung welche nicht wegfallen. Oder die Steigung von meiner Geraden wird negativ für alle Möglichkeiten..wasja auch falsch ist. Ich weis auch nicht was ich falsch mache ich habe es jetzt übers wochenende probiert un bin nicht weitergekomme.
12.11.2009, 10:41	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Re: Schreib doch zukünftig hin, was du konkret gerechnet hast. Sonst kann man nicht sehen, wo der Fehler steckt. Ich beginne mal mit dem Pythagoras zwischen unterem Stabende und Stabmitte unter Verwendung der Indiices u und m für die beiden Positionen. Der Abstand ist r, also: $\begin{eqnarray} (x_m-x_u)^2+(y_m-y_u)^2=r^2 \end{eqnarray}$ Da die Stabmitte auf der Stabgeraden liegt, muss gelten: $\begin{eqnarray} \frac{y_m-y_u}{x_m-x_u}=m \end{eqnarray}$ Da das Minimum von $\begin{eqnarray} y_m \end{eqnarray}$ gesucht ist, eliminiert man zweckmäßigerweise $\begin{eqnarray} x_m-x_u \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_m-x_u=\frac{1}{m}(y_m-y_u) \end{eqnarray}$ Das in den Pythagoras eingesetzt, führt zu: $\begin{eqnarray} (y_m-y_u)^2=\frac{m^2}{1+m^2}r^2 \end{eqnarray}$ Wenn man für m $\begin{eqnarray} m=\frac{\sqrt{r^2-a^2}}{r-a} \end{eqnarray}$ einsetzt, ergibt eine kurze Rechnung $\begin{eqnarray} (y_m-y_u)^2=\frac{r+a}{2}r \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} y_m=\sqrt{\frac{r}{2}(r+a)}+y_u \end{eqnarray}$ und nach einsetzten von $\begin{eqnarray} y_u \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y_m=\sqrt{\frac{r}{2}(r+a)}-\sqrt{r^2-a^2} \end{eqnarray}$ Von dieser Funktion ist nun das Minimum gesucht.
14.11.2010, 14:11	Keksi	Auf diesen Beitrag antworten »
wie kommst du auf die Steigung der Geraden.. alles andere ist ja verständlcih mir haperts glaub mit der mathematischen vorstellungskraft
14.11.2010, 15:01	Keksi	Auf diesen Beitrag antworten »
ok^^ hab das mittlerweile erledigt... das letzte worauf ich nicht komme ist: Am Schluss steht: yu eingesetzt... egal wie ichs mach... (ob jetzt von yu = y - ym ... oder über die Steigungsformel...) ich komm nie auf das gleiche Ergebnis. MfG
14.11.2010, 19:37	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} y_u \end{eqnarray}$ wird mittels der Kreisgleichung eingesetzt. Der untere Auflagepunkt liegt ja auf dem Kreis. Und nach den Bezeichnungen des damaligen Fragestellers ist a die x-Koordinate des unteren Auflagepunktes.

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