Gruppe, Beweis

07.11.2009, 12:16

estrella28

Gruppe, Beweis

Hallo

Folgende Aufgabe:

Es seien G und H Gruppen. Zeigen Sie, dass auch

G x H = {(g,h): g $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ G, h $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ H}

mit der Verknüpfung

(g1,h1)(g2,h2) = (g1g2,h1h2) eine Gruppe ist.

Eigentlich muss ich ja nur nachweisen, dass die Gruppenaxiome gelten.

Das Assoziativgestz habe ich so nachgewiesen:

(g1,h1)[(g2,h2)(g3,h3)]=[(g1,h1)(g2,h2)](g3,h3)
(g1,h1) (g2g3, h2h3) = (g1g2,h1h2) (g3,h3)
(g1g2g3,h1h2h3) = (g1g2g3,h1h2h3)

ist das richtig?

Aber wie weise ich ein neutrales Element nach bzw. wie sieht das überhaupt hier aus. Ich weiß, dass es wohl die Form (?,?) haben muss, habe aber keine Ahnung wie es aussieht. Das selbe beim inversen Element.

Zum Kommutativgesetz: Ich würde nicht sagen, dass es Kommutativ ist, beweisen würde ich es wie oben beim Assoziativgesetz.

Bin dankbar für alle Tipps und Anregungen !!!

07.11.2009, 12:38

Lord Pünktchen

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RE: Gruppe, Beweis
Das mit der Assoziativität ist richtig.

Ist $\begin{eqnarray*} 0_g \end{eqnarray*}$ das neutrale Element der Gruppe G und $\begin{eqnarray*} 0_h \end{eqnarray*}$ das neutrale Element der Gruppe H, so ist $\begin{eqnarray*} (0_g, 0_h) \end{eqnarray*}$ das neutrale Element deiner Gruppe $\begin{eqnarray*} G \times H \end{eqnarray*}$

Die Kommutativität folgt eigentlich direkt aus der Kommutativität der einzelnen Gruppen.

07.11.2009, 13:01

estrella28

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RE: Gruppe, Beweis
Aber woher weiß ich, was das neutrale Element von G und was das neutrale Element von H ist? Ich habe nichts zu diesen Gruppen gegeben, d.h. keine Verknüpfung.
Und wie kann ich dann auch die Kommutativität von G oder von H beweisen?

07.11.2009, 13:12

Lord Pünktchen

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RE: Gruppe, Beweis
Jede Gruppe hat ein neutrales Element. Dieses bezeichnest du einfach als $\begin{eqnarray*} 0_g~~bzw~~0_h \end{eqnarray*}$ .
Wie diese genau aussehen ist doch vollkommen egal.

Es genügen die Eigenschaften die jedes neutrale Element einer Gruppe besitzt.
Genauso ist die Verknüpfung egal, es reichen die Eigenschaften der Verknüpfung, die daraus folgen, dass du eine Gruppe betrachtest.

Zur Kommutativität:

Falls ihr unter Gruppen immer abelsche Gruppen versteht, dann sind G und H per Definition kommutativ.

Falls für euch Gruppen nicht zwingend abelsch sind, dann musst du auch für den Nachweis, dass G x H eine Gruppe ist nicht nachweisen, dass G x H kommutativ ist.

Jetzt alles klar?

07.11.2009, 14:21

estrella28

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RE: Gruppe, Beweis
Ja, vielen Dank !! smile

Nur noch eine Frage: Kann ich das beim inversen Element genauso machen wie beim neutralen???

07.11.2009, 20:03

estrella28

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RE: Gruppe, Beweis
Hallo

Ich habe gerade noch Verständnisprobleme zu dieser Aufgabe

Folgendes habe ich zum Beweis des neutralen Elements:

G und H seien nach Aufgabenstellung Gruppen. Dann besitzt G nach Definition ein neutrales Element 0G und H ein neutrales Element 0H.
Somit besitzt GxH das neutrale Element (0G,0H), für das gilt:
(0G,0H) (g,h) = ????

Was ist das inverse Element dazu? (g,h)^-1 ????

07.11.2009, 20:18

jester.

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RE: Gruppe, Beweis
Da Lord Pünktchen nicht mehr da ist, antworte ich mal:

Zitat:

Original von estrella28
G und H seien nach Aufgabenstellung Gruppen. Dann besitzt G nach Definition ein neutrales Element 0G und H ein neutrales Element 0H.
Somit besitzt GxH das neutrale Element (0G,0H), für das gilt:
(0G,0H) (g,h) = ????

Du musst an dieser Stelle beachten, dass für $\begin{eqnarray*} G\times H \end{eqnarray*}$ die Verknüpfung $\begin{eqnarray*} (g_1,h_1)(g_2,h_2)=(g_1 g_2,h_1 h_2) \end{eqnarray*}$ definiert wurde.

Zitat:

Was ist das inverse Element dazu? (g,h)^-1 ????

Natürlich ist $\begin{eqnarray*} (g,h)^{-1} \end{eqnarray*}$ das inverse Element zu allen $\begin{eqnarray*} (g,h) \end{eqnarray*}$ , aber du müsstest eine genaue(re) Darstellung dazu angeben. Vielleicht genügt dazu schon der Tipp, den ich gerade gegeben habe: Beachte die Definition der Verknüpfung.

07.11.2009, 20:23

estrella28

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RE: Gruppe, Beweis
Hallo

Erstmal danke für deine Antwort.

Müsste das inverse Element demnach nicht (0Gg1, 0Hh2) sein ist das richtig?

Vielleicht könntest du mir noch helfen wie ich beweise, das GxH kommutativ ist.

Grüße

estrella28

07.11.2009, 20:35

jester.

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Langsam, sonst kommen wir durcheinander.

Weil du oben geschrieben hast (0G,0H)(g,h)=???, dachte ich, du weißt nicht, wie man die zwei Paare (0G,0H) und (g,h) zu einem zusammenrechnet. Also, was ist (0G,0H)(g,h)?

Das Inverse kann nicht $\begin{eqnarray*} (0_G g_1, 0_H h_1) \end{eqnarray*}$ sein, denn $\begin{eqnarray*} (\underbrace{0_G g_1}_{=g_1},\underbrace{0_H h_1}_{=h_1})=(g_1,h_1) \end{eqnarray*}$ . Also, nochmal scharf nachdenken: Was ist das inverse Element?

Was die Kommutativität angeht, kann ich mich Lord Pünktchen nur anschließen: Gruppen sind per definitionem nicht notwenig kommutativ, und da du am Anfang, in der Aufgabenstellung G und H nicht als kommutativ vorausesetzt hast, ist auch $\begin{eqnarray*} G\times H \end{eqnarray*}$ nicht kommutativ.
Es sei denn eure Gruppendefinition umfasst die Kommutativität oder du hast vergessen anzugeben, dass G und H kommutativ sind.

07.11.2009, 20:43

estrella28

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Ich habe gerade ein brett im kopf,ich habe keine ahnung....

07.11.2009, 20:48

jester.

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Also, die Verknüpfung auf $\begin{eqnarray*} G\times H \end{eqnarray*}$ ist komponentenweise definiert, das heißt eben genau $\begin{eqnarray*} (g_1,h_1)(g_2,h_2)=(g_1g_2,h_1h_2) \end{eqnarray*}$ .

Darum ist dann auch $\begin{eqnarray*} (0_G, 0_H)(g,h)=(0_G g, 0_H,h)=(g,h)\text{ für alle }g\in G, h\in H \end{eqnarray*}$ .

Dann fehlt jetzt noch das Inverse Element zu $\begin{eqnarray*} (g,h) \end{eqnarray*}$ . Jetzt haben wir aber gesehen, dass wir komponentenweise verknüpfen. Fällt dann jetzt der Groschen, wie das Inverse aussieht? Denk dran: Das Inverse Element muss jede Komponente invertieren.

07.11.2009, 20:52

estrella28

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muss es dann (g^-1,h^-1) sein, aber ist dann (0G, 0H) noch überhaupt das neutrale Element, muss sich denn nicht, dass neutrale Element aus
(0G, 0H) (g, h) ergeben?

07.11.2009, 21:02

jester.

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Nein, das neutrale Element muss sich aus $\begin{eqnarray*} (g,h)(g,h)^{-1} \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} (g,h)(g^{-1},h^{-1}) \end{eqnarray*}$ , ergeben, und das tut es.

Aus $\begin{eqnarray*} (0_G,0_H)(g,h) \end{eqnarray*}$ ergibt sich wieder $\begin{eqnarray*} (g,h) \end{eqnarray*}$ (vgl. meine Berechnung in meinem letzten Beitrag und Definition des neutralen Elements).

08.11.2009, 10:52

estrella28

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Danke, jetzt ist es mir klar, hatte gestern irgendwie einen Denkfehler

LG

estrella28

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