Beweis: Summe nicht ganzzahlig

07.11.2009, 14:37

imag

Beweis: Summe nicht ganzzahlig

Hallo
Ich will diese Aufgabe hier lösen:
Zeige, dass für alle $\begin{eqnarray*} n\geq2 \end{eqnarray*}$ die Summe $\begin{eqnarray*} \sum_{v=1}^n \frac{1}{v} \end{eqnarray*}$ nicht ganzzahlig ist.
Ich habe auch einen Hinweis: $\begin{eqnarray*} 2^r \leq n < 2^{r+1} \end{eqnarray*}$ Hauptnenner.
Aber irgendwie kann ich damit nicht viel anfangen. Kann mir vielleicht jemand einen Tipp geben wie ich den Beweis angehen kann?

07.11.2009, 15:02

Lord Pünktchen

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RE: Beweis: Summe nicht ganzzahlig
Also mein Tipp:

Zeige, dass $\begin{eqnarray*} kgV(1,2,...,n) \cdot \sum_{i=1}^{n} \frac {1} {i} \end{eqnarray*}$ ungerade ist.

07.11.2009, 15:04

Mystic

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...
Edit: Mein Kommentar hier hat sich dann erübrigt...

07.11.2009, 15:40

imag

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RE: Beweis: Summe nicht ganzzahlig
Danke für den Tipp. Habe allerdings ein paar Probleme damit. Finde es aber ziemlich schwierig zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} kgV(1,2,...,n) \cdot \sum_{i=1}^{n} \frac {1} {i} \end{eqnarray*}$ ungerade ist. Komme da irgendwie auf nichts.
Und noch eine Frage ganz generell: Warum beweist man überhaupt dass das ungerade ist? Ungerade hat doch nichts mit ganzzahlig zu tun oder?

07.11.2009, 16:38

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Also ehrlich, du solltest über die Tipps auch mal ein wenig nachdenken:

$\begin{eqnarray*} q := \operatorname{kgV}(1,2,\ldots,n) \end{eqnarray*}$ ist gerade für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ . Wenn man für $\begin{eqnarray*} p := q \cdot \sum_{i=1}^{n} \frac {1} {i} \end{eqnarray*}$ annimmt, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n} \frac {1} {i} \end{eqnarray*}$ ganzzahlig ist, so folgt daraus $\begin{eqnarray*} q|p \end{eqnarray*}$ , insbesondere also, dass $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ gerade ist. Wenn du nun zeigst, dass $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ aber ungerade ist, dann widerspricht das demnach der Ganzzahligkeit von $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n} \frac {1} {i} \end{eqnarray*}$ .

Und was diesen Nachweis der Ungeradheit von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ betrifft:

Betrachte alle ganzen Zahlen $\begin{eqnarray*} \frac{q}{i} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i=1,\ldots,n \end{eqnarray*}$ , getrennt für $\begin{eqnarray*} i=2^r \end{eqnarray*}$ einerseits sowie $\begin{eqnarray*} i\neq 2^r \end{eqnarray*}$ andererseits - was fällt auf?

08.11.2009, 15:32

imag

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Wenn q, das gerade ist, durch $\begin{eqnarray*} i=2^r \end{eqnarray*}$ geteilt wird, kann p gerade oder ungerade sein. Wenn q allerings durch $\begin{eqnarray*} i\neq 2^r \end{eqnarray*}$ geteilt wird p immer gerade. Wenn ich nun aber den Hauptnenner bilde, weil ich diese $\begin{eqnarray*} \frac {1} {i} \end{eqnarray*}$ ja aufsummiere ist dieser immer gerade oder? So jetzt fehlt mir aber immer noch ein Argument, warum p immer ungerade ist, weil es jetzt ja immer noch gerade und ungerade sein könnte.

08.11.2009, 15:40

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Denk nochmal genauer nach:

$\begin{eqnarray*} \frac{q}{i} \end{eqnarray*}$ ist ungerade für $\begin{eqnarray*} i=2^r \end{eqnarray*}$ , aber für alle anderen (!) $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ ist es eine gerade Zahl.

08.11.2009, 15:46

imag

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Moment das verstehe ich nicht ganz. Wenn ich q, das gerade ist durch etwas gerades der Form $\begin{eqnarray*} i=2^r \end{eqnarray*}$ teile kann q doch immer noch gerade oder ungerade sein oder? (12:4=3 oder 16:4=4) oder kann ich die beispiele so nicht verwenden? hab mir das so versucht klar zu machen.

08.11.2009, 15:49

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Nein - ich spreche nicht von einem beliebigen $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ , sondern von dem $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ , das du selbst hier eingeführt hast:

Zitat:

Original von imag
Ich habe auch einen Hinweis: $\begin{eqnarray*} 2^r \leq n < 2^{r+1} \end{eqnarray*}$

Also halte dich doch bitte an deine eigenen Bezeichnungen! $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ ist also definiert als der Exponent der größten Zweierpotenz, die kleiner oder gleich $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist.

08.11.2009, 16:25

imag

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Moment habe die Änderung jetzt erst gelesen. Ich überleg nochmal! Sorry

08.11.2009, 16:35

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Da war keine Änderung, sondern noch mal eine genauere Erklärung deiner eigenen Bezeichnung $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ .

08.11.2009, 16:47

imag

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Das meinte ich. Ich glaube genau diese Erklärung hat mir sehr geholfen.
Wenn $\begin{eqnarray*} i=2^r \end{eqnarray*}$ ist, kann sonst "keine 2 mehr vorkommen", weil r als die größte 2er-Potenz definiert ist, die kleiner oder gleich n ist.
Somit gilt:
$\begin{eqnarray*} \frac{q}{i} \end{eqnarray*}$ ist ungerade für $\begin{eqnarray*} i=2^r \end{eqnarray*}$ , aber für alle anderen $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ ist es eine gerade Zahl.
Und wenn man nun zu nur geraden Zahlen eine ungerade Zahl addiert ist die Summe immer ungerade. Daraus folgt also das p ungerade ist und daraus wiederum ein Widerspruch der Ganzzahligkeit von $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n} \frac {1} {i} \end{eqnarray*}$ . Stimmt das?

08.11.2009, 16:49

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Manchmal stimmt der Spruch: "Was lange währt, wird gut." Freude

08.11.2009, 16:50

imag

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Sorry. Brauche manchmal ein bisschen länger. Aber wenn will ichs auch richtig verstehen, sonst bringt es ja nichts. Vielen Dank für die geduldige Hilfe!

13.01.2010, 19:39

Hypatia

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Hi! Ich bin neu hier Wink

ich finde die Aufgabe sehr interessant und kann alles nach vollziehen. Jedoch frage ich mich, wie man auf den Hinweis kommt? Also woher weiß ich, dass 2^r kleiner gleich n ist? Wieso wählt man genau die Zweierpotenz? verwirrt

Würde mich sehr über Antworten freuen!

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