Seitenhalbierende im gleichschenkligen Dreieck

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hmmmm Auf diesen Beitrag antworten »
Seitenhalbierende im gleichschenkligen Dreieck
hi

wie kann ich mit dem skalarprodukt beweisen, dass die seitenhalbierende von c im gleichschenkligen dreieck senkrecht auf c steht?

im gleichschenkligen dreieck ist a = b , kann ich daher, wenn ich die vektoren a und b vom winkel gamma weglaufen lasse und somit c ausdrücke, schreiben vektor a - vektor b = 0 ?

cya
Mario Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich ist die Sache aus Symmetriegründen klar. Aber vielleicht
ist die Aufgabe so gemeint, dass man das Dreieck mit der Basis auf
die x-Achse legt, (der gegenüberl. Eckpunkt landet dann auf der y-Achse)
und dann die entsprechenden Vektoren, die
zu den Strecken Mittelp.-benachbarte Eckpunkte bzw. Mittelp.-
gegenüberl. Eckp. skalar multipliziert (man erhält natürlich 0).
Ist aber wirklich von hinten durchs Auge in die Mitte..

Liebe Grüße
Mario
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Hi!

Es besteht schon ein wenig mehr Hintergrund bei dieser Aufgabe, und es ist ein schöner vektorieller Beweis!

Seien die von C ausgehenden Vektoren CA = a und CB = b, M der Mittelpunkt von AB und (wichtig!) |a| = |b|.

Dann ist Vektor AB = b-a , Vektor MB = b - a/2 und Vektor CM = b - (b-a)/2 = (a+b)/2.

Nun bilden wir das Skalarprodukt von AB mit CM,
dieses ist

(b-a).(b+a)/2 = (1/2)*(b² - a²) = (1/2)*(|b|² - |a|²)

Das ist nicht von vornherein gleich Null! Erst wenn |b|=|a|, dann ist auch |b|² = |a|², und somit gilt hier:

(b-a).(b+a)/2 = .. = (1/2)*(|b|² - |a|²) = (1/2)*0 = 0
Es stehen die Vektoren AB und CM aufeinander senkrecht.


Gr
mYthos
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