Kreise in Quadraten

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Alexander_N Auf diesen Beitrag antworten »
Kreise in Quadraten
Innerhalb eines Quadrates wird um jeden Eckpunkt ein Virtelkreis gezeichnet, dessen Radius gleich der Seitenlänge des Quadrates ist (a). Wie groß ist die Fläche die von den Kreisen überdeckt wird?

Meine Lösung ist




Frage 1: Ist es richtig?

Frage 2: Wie kommt man elegant zur Lösung
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Du redest wirklich von einem Quadrat ? Mir ist völlig unklar, wo da diese Drittel sowie herkommen sollen. unglücklich

Riecht alles eher nach gleichseitigem Dreieck oder Sechseck.
 
 
ObiWanKenobi Auf diesen Beitrag antworten »
Skizze
Hallo erstmal! Hatte gerade diese Frage gepostet, dann wollte ich noch eine Skizze ergänzen. Ging irgendwie nicht! Dann habe ich mich registriert... habe aber nun einen andern Namen...

Anbei die Skizze

[attach]11848[/attach]
Rechenschieber Auf diesen Beitrag antworten »

Sollte die Zeichnung die Aufgabe wiederspiegeln, so ist sie mehrdeutig:

entweder deckt jeder Viertelkreis soviel ab, dass bei allen Viertelkreisen das Quadrat völlig abgedeckt wird, oder aber es ist die Schnittfläche gemeint, die durch die vier Viertelkreise entstehen...

[attach]11849[/attach]

LGR
ObiWanKenobi Auf diesen Beitrag antworten »
grün!
Tut mir leid, wenn ich mich nicht exakt ausgedrückt habe.

Die Skizze sollte es verdeutlichen...


Ich meinte die grün eingefärbte Fläche!
AD Auf diesen Beitrag antworten »
RE: grün!
Zitat:
Original von ObiWanKenobi
nicht exakt

"Falsch" ist das Wort.

Es geht also um alle Teile des Quadrates, die von mindestens drei der Viertelkreise überdeckt werden.
ObiWanKenobi Auf diesen Beitrag antworten »

ja! richtig!
ObiWanKenobi Auf diesen Beitrag antworten »
oder anders!
Ich habe versucht an die Sache über die "Hintertür" heran zu gehen und die weiße Fläche zu berechnen um sie dann von der Quadratfläche abzuziehen!
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Gute Idee, und mit der Flächenaufteilung geht es auch ziemlich schnell:

[attach]11862[/attach]
ObiWanKenobi Auf diesen Beitrag antworten »
Also so?
A des gleichseitigen Dreiecks:




A der beiden Kreissegmente (zusammen 60 Grad):



Das addieren und den Summenwert von a^2 subtrahieren.

Dieses Ergebnis mit 4 Multiplizieren und das Produkt dann wiederum von a^2 subtrahieren.

Ich erhalte dann: (nach entsprechender Vereinfachung):



Also hat alles gestimmt, oder mache ich etwa einen Fehler beim vereinfachen!?
Alex-Peter Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreise in Quadraten
Deine obige grüne Figur hat eine zu berechnende Fläche die gesucht ist.
Ich habe hier eine Lösung aufgestellt, die gerasterte Fläche an den 4 Seiten zu bestimmen. Die Fläche der grünen Figur ist nun:

Fläche des Quadrates minus 4 mal die Fläche eines Raster wie aus meiner Zeichnung hervorgeht. Das war für mich einfacher als die Fläche der mehrfach überdeckten Figur zu bestimmen.
ObiWanKenobi Auf diesen Beitrag antworten »

Genau!

Aber was Du jetzt als A bezeichnest ist 1/4 der gesamten gerasterten Fläche! Oder?

Also mußt Du das noch mal 4 nehmen und das Ergebnis dann von a^2 abziehen! Richtig?

Und dann erhält man doch genau das was bereits in meiner Eingangsfrage als Lösung angegeben war - oder?
Alex-Peter Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreise in Quadraten
Deine Vorgabe Alexander N. stimmt also!

Die Länge der Seite a in meiner Zeichnung ist 4cm. a = 4cm.
ObiWanKenobi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreise in Quadraten
Vielen Dank!

Beste Grüße

Alexander_N
= ObiWanKenobi

smile
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