Konstruieren Sie eine Basis für R^4

07.11.2009, 18:35

Matheversteher

Konstruieren Sie eine Basis für R^4

Guten Abend Matheboarder!
Ich habe folgendes Problem mit dieser Aufgabe (im Anhang)
Bin nun folgendermaßen vorgegangen:
Zuerst habe ich getestet ob nicht einer der Vektoren linear abhängig ist von den anderen, mit
$\begin{eqnarray*} x_1*v1+x_2*v2=v3 \end{eqnarray*}$
Dabei ist herausgekommen, dass $\begin{eqnarray*} v3 \end{eqnarray*}$ linear abhängig ist von den anderen beiden mit:
$\begin{eqnarray*} -2*v1+v2=v3 \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} x_1=-2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2=1 \end{eqnarray*}$ )

Das ist ja bis hierhin(für mich) ganz einfach.
So nun muss ich um die Aufgabe zu vervollständigen noch zwei weitere (da wir uns im $\begin{eqnarray*} R^4 \end{eqnarray*}$ befinden) linear unabhängige Vektoren finden.

Meine Frage ist nun wie mache ich das? Oder kann ich nach der Reihe jeweils einen der trivialen Vektoren $\begin{eqnarray*} a(1,0,0,0) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} b(0,1,0,0) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} c(0,0,1,0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d(0,0,0,1) \end{eqnarray*}$ für das $\begin{eqnarray*} R^4 \end{eqnarray*}$ durchtesten? indem ich sage $\begin{eqnarray*} x_1*v1+x_2*v2 = a \end{eqnarray*}$ (analog dann noch für die restlichen 3 Vektoren).

Ich hoffe ihr wisst worauf ich hinaus will und freue mich auf geistige Anregungen zur Lösung meines Problems.

07.11.2009, 19:16

jester.

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Hallo mal wieder. Dieses Vorgehen zur Untersuchung auf lineare Unabhängigkeit ist mir etwas suspekt. Was ist, wenn nun deine $\begin{eqnarray*} v_1,v_2 \end{eqnarray*}$ auch noch linear abhängig sind? Das Vorgehen, das ich empfehlen würde, ist der Gauß'sche Algorithmus: Bringe die Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ auf strikte Zeilenstufenform. Dabei kannst du ganz genau erkennen, wie viele linear unabhängige Vektoren du tatsächlich hast (Anzahl der Nicht-Null-Zeilen).

Damit hast du dann den zweiten Teil der Aufgabe auch in der Tasche, denn du kannst dann die Standard-Einheitsvektoren genau in die fehlenden Stufen setzen, um die Basis zu einer Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{1\times 4} \end{eqnarray*}$ zu ergänzen.

07.11.2009, 19:59

Matheversteher

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Ja so hab ich es auch schon gerechnet und habe dabei das hier (im Anhang; ich hoffe die schrift ist lesbar) herausbekommen. Womit ich nur leider nicht sonderlich viel anfagen kann. Bei meinem ersten Beispiel habe ich jetzt zwei 0 zeilen und in dem zweiten eine 0 zeile.
Hab in der ersten Matrix die Vektoren in eine Spalte geschrieben und bei der 2ten in eine Zeile).

Bei meinem zweiten Beispiel würde ich jetzt schließen, dass einer der Vektoren von den beiden anderen linear Abhängig ist.Dies wäre der erste, da in der ersten zeile nur 0en vorhanden sind.
(falls du dich fragst warum ich bei meinem ersten beispiel die vektoren in die spalten geschrieben habe, dann muss ich dir sagen, dass ich das in der SChule imer so gehabt habe. Habe nochmal nachgeschaut.Das mit den Vektoren in eine Zeile schreiben ist mir irgendwie ein wenig suspekt. Wusste bisher gar nicht,dass man das (wenn es so richtig ist) auch machen darf)

07.11.2009, 20:14

jester.

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Also das, was du links machst ist nicht so ganz in Ordnung. Wenn du die Vektoren als Spalten in die Matrix eintragen willst (geht in Ordnung), musst du auch Spaltenumformungen durchführen, denn du möchtest ja nur mit Linearkombinationen der Vektoren arbeiten, die auch sicher in deinem Unterraum sind.

Betrachte nun rechts die dritte Matrix von oben, streiche alles dadrunter durch und subtrahiere die erste von der zweiten Zeile - damit bist du bereits fertig. Dann hast du die erste und die letzte Zeile als deine Basisvektoren (die zweite Zeile hast du ja dann gerade zu einer Nullzeile gemacht).

Mit welchen Standard-Einheitsvektoren kannst du diese Basis nun zu einer Basis des Oberraumes erweitern?

07.11.2009, 21:11

Matheversteher

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So hab ich gemacht. Habe jetzt in der ersten Zeile einen Vektor stehen und in der driten, wodurch dich dann schonmal zwei von den gesuchten vier Vektoren besitze. Aber wie muss ich weitervorgehen? Denn für mich ist jetzt noch nicht ersichtlich welche Vektoren fehlen. Auch weis ich nicht was mit "strikte Zeilenstufenform" gemeint ist.

07.11.2009, 21:19

jester.

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Mir fällt gerade auf, das ist bisher nur die "Zeilenstufenform", nicht die "strikte Zeilenstufenform" - aber vergiss das, diese Namen sind Schall und Rauch.

Ich versuche das mal mit Latex darzustellen: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\underline{-2}&\underline 4&2&3 \\ 0&0&|\underline 2&\underline 5\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das haben wir. Jetzt möchten wir eine Matrix so, dass in jeder Zeile eine Stufe ist, also so: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\underline{-2}&4&2&3 \\ 0&| \underline x&y&z \\ 0&0&|\underline 2&5 \\ 0&0&0 & |\underline w\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Damit sollte es eigentlich offensichtlich sein, welche Vektoren du verwenden kannst: Du brauchst zwei linear unabhängige Vektoren. Beachte dabei die Aussagekraft der Nullen in Bezug auf die lineare (Un-)abhängigkeit.

07.11.2009, 21:34

Matheversteher

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Gut ok, so wie du es gemacht hast, mit den 0en hab ich es mir fast gedacht.
Also in die letzte Zeilen kann man für w alle reellen Zahlen einsetzen oder? so hätte ich in der letzten Zeile z.B. (0,0,0,12), dass ist aber vom prinzip das selbe her wie (0,0,0,1) ich hätte in diesem fall den vektor nur mit 12 multipliziert, in der letzten Zeile läuft somit alles auf einen der Standardvektoren hinaus in dem Fall wie gerade gesagt (0,0,0,1). (Ich offe du kannst mir folgen.)
Die Matrix sähe dann in der veränderten Form so aus $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\underline{-2}&4&2&3 \\ 0&| \underline x&y&z \\ 0&0&|\underline 2&5 \\ 0&0&0 & |\underline 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Nun fehlt mir noch einer und zwar (0,x,y,z), für dich scheint es offensichtlich zu sein welcher Vektor hier hinein gehört für mich ist es aber leider weniger ersichtlich, mit anderen Worten gar nicht. Auch verstehe ich nicht wie du das ohne einen Rechenschritt sehen kannst, da muss dann irgendwie was rechnen. verwirrt

Auch verstehe ich nicht was du mir hiermit

Zitat:

Beachte dabei die Aussagekraft der Nullen in Bezug auf die lineare (Un-)abhängigkeit.

sagen möchtest.

Also wie du siehst geht es mir hierbei nicht um die konkret Lösung von der aufgabe sondern eher um den Rechenweg, wenn es denn einen richtigen gibt.

07.11.2009, 22:19

jester.

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Ein einfaches Beispiel: Die Vektoren $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ müssen linear unabhängig sein, denn es gibt keinen Koeffizienten, der den einen in den anderen durch Multiplikation überfüren könnte (aufgrund der Null im ersten Vektor).

Das gleich Prinzip wenden wir jetzt hier an. In die letzte Zeile kommt der Vektor $\begin{eqnarray*} (0,0,0,1) \end{eqnarray*}$ , in die zweite Zeile kommt ein Vektor, dessen erste Komponente Null ist, die zweite ungleich Null. Also einer von diesen hier: $\begin{eqnarray*} (0,1,0,0),(0,1,1,1),(0,1,2,3) \end{eqnarray*}$ (nicht vollständige Liste).

Am einfachsten sind in diesem Fall immer die Einheitsvektoren( $\begin{eqnarray*} (0,1,0,0),(0,0,0,1) \end{eqnarray*}$ ) zu wählen

07.11.2009, 22:43

Matheversteher

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Oh...Also wenn ich das richtig verstehe ist es egal welche Zahlen ich in die zweite Zeile hinein schreibe, wenn ich das richtig verstehe, da die erste Zahl eine 0 ist.
Also ist wie du gesagt hast auch in der zweite Zeile ein Einheitsvektor vorhanden $\begin{eqnarray*} (0,1,0,0) \end{eqnarray*}$
Ich nehme mal ein anderes Beispiel als das, das wir hier jetzt haben und du sagst mir ob es richtig ist. Die Vektoren die ich jetzt nehme sind nur ausgedacht.

Also ich habe Beispielhaft die Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1 (5,2,1,9) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_2 (0,2,3,1) \end{eqnarray*}$ . Angenommen ich müsste nun auch hier noch zwei Vekotren suchen, um eine Basis bilden zu können. Dann sähe eine zugehörige Matrix etwa so aus
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\underline{5}&2&1&9 \\ 0&| \underline 2&3&1 \\ 0&0&|\underline x&y \\ 0&0&0 & |\underline z\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Wären dann die fehlenden Vektoren
$\begin{eqnarray*} v_3 (0,0,1,a) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a=R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_4 (0,0,0,1) \end{eqnarray*}$ ?
Ist das so richtig, oder mache ich das komplett falsch? verwirrt

07.11.2009, 22:57

jester.

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Ich denke du hast das Prinzip verstanden. Freude

07.11.2009, 23:04

Matheversteher

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Ok dann bin ich aber beruhigt. Ich danke Dir, dass du mir wiedermal (zum zweiten oder dritten verwirrt

mal) bei einem Problem geholfen hast Wink

P.S. Und sonst muss ich das nicht irgendwie berechnen? weil ich muss doch eigentlich zeigen, dass diese Vektoren eine Basis sind oder reicht es wenn ich dann

$\begin{eqnarray*} a*v_1+b*v_2+c*v_3+d*v_4 =0 \end{eqnarray*}$ rechne? Hier dürfte ja dann immer nur die triviale Lösung 0 rauskommen für die variablen.

07.11.2009, 23:50

jester.

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So geht es. Oder, nachdem du die Vektoren eingefügt hast, machst du mit dem Gauß-Algorithmus weiter. Wenn du die Matrix bis auf die Einheitsmatrix umformen kannst, hast du deine Basis gefunden.

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