Körper mit 4 Elementen

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estrella28 Auf diesen Beitrag antworten »
Körper mit 4 Elementen
Hallo

Ich soll einen Körper F mit 4 Elementen konstruieren. Das wäre dann:
{0,1,a,b}

folgende Additionstabelle und Multiplikationstabelle habe ich dazu gefunden:

+ 0 1 a b

0 0 1 a b
1 1 0 b a
a a b 0 1
b b a 1 0


* 0 1 a b

0 0 0 0 0
1 0 1 a b
a 0 a b 1
b 0 b 1 a

Sind diese richtig?
Und wie komme ich zu diesen Tabellen? Das heißt warum ist z.B. 1+a=b und a+a=0 oder warum ist a*a=b
Das verstehe ich nicht so ganz.
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Die Tabelle ist nicht sehr gut zu lesen. unglücklich

Aber zu deiner Frage, warum sie so aussieht, wie sie aussieht, kann man verschiedene Antworten geben: Eine wäre: Weil genau so eine Verknüpfung (bzw. vielmehr ja zwei, die Addition und die Multiplikation) definiert ist, damit die vier Elemente eine Körperstruktur aufweisen.

Eine andere Antwort wäre: Weil , der Körper mit vier Elementen, definiert ist als , wobei dann dein a genau der Restklasse von X entspricht.

Das kommt dann allerdings ein bisschen auf deine Vorkenntnisse an, welche Antwort dir mehr zusagt.
 
 
estrella28 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jester.
Die Tabelle ist nicht sehr gut zu lesen. unglücklich


Sorry... Konnte es nicht besser...

Zitat:
Aber zu deiner Frage, warum sie so aussieht, wie sie aussieht, kann man verschiedene Antworten geben: Eine wäre: Weil genau so eine Verknüpfung (bzw. vielmehr ja zwei, die Addition und die Multiplikation) definiert ist, damit die vier Elemente eine Körperstruktur aufweisen.


Das heißt ich habe a*a=b so definiert, damit es ein Körper ist? Und 0 ist ja das neutrale Element der Addition und 1 ist das neutrale Element der Multiplikation in diesem Körper, oder? Wenn dann gilt a*b=1 , ist dann b das inverse Element der Multiplikation zu a? Bei der Addition wäre demnach dann a das inverse Element zu a, richtig?



Zitat:
Eine andere Antwort wäre: Weil , der Körper mit vier Elementen, definiert ist als , wobei dann dein a genau der Restklasse von X entspricht.


Sowas haben wir noch nicht besprochen.
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von estrella28
Das heißt ich habe a*a=b so definiert, damit es ein Körper ist? Und 0 ist ja das neutrale Element der Addition und 1 ist das neutrale Element der Multiplikation in diesem Körper, oder? Wenn dann gilt a*b=1 , ist dann b das inverse Element der Multiplikation zu a? Bei der Addition wäre demnach dann a das inverse Element zu a, richtig?


Du hast Recht, 0 und 1 sind die neutralen Elemente bzgl. Addition und Multiplikation. Und ja, das multiplikativ Inverse zu a ist b. Das additiv Inverse zu a ist a. Insbesondere ist, das erkennst du an der Hauptdiagonalen in der Additionstablle, jedes Element des Körpers zu sich selbst invers bezüglich der Addition.

Nun hast du noch nach dem Warum gefragt. Aber das kannst du dir selbst beantworten, indem du versuchst, mit Hilfe der Körperaxiome die Verknüpfungstafeln selbst herzustellen: Du musst die Verknüpfungen so definieren, dass alle Körperaxiome erfüllt sind.
estrella28 Auf diesen Beitrag antworten »

danke, dass habe ich jetzt verstanden smile
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