Verkettung, injektiv, surjektiv?

08.11.2009, 00:35

Summerly89

Verkettung, injektiv, surjektiv?

Meine Aufgabe ist:
Untersuche die Abbildungen f,g,f(kringel)g, g(kringel)f auf Injektivität und Surjektivität.
f: Z -> ZxZ und g: Z -> ZxZ
und definiert durch f(m)=(m-1,2) und g(m,n)=m+n

mein Ansatz:
f(kringel)g bedeutet ja f(g(x))=((m+n)-1,2)
g(kringel)f g((f(x))=((m-1,2)m+n)
und dann müsste ich die beiden vereinfachen aber was soll ich da noch vereinfachen und vorallem wie finde ich heraus ob die injektiv oder surjektiv sind? :/
ich hoffe mir kann jemand helfen und danke im voraus schonmal für die antworten smile

08.11.2009, 02:12

Jacques

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Hallo,

Du meintest sicher g: ZxZ -> Z

Also

$\begin{eqnarray*} f\colon\, \mathbb{Z} \longrightarrow \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \qquad m \longmapsto (m - 1, 2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g\colon\, \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \longrightarrow \mathbb{Z} \qquad (m, n) \longmapsto m + n \end{eqnarray*}$

Die Funktion f ordnet jeder ganzen Zahl m das Paar (m - 1, 2) zu, die Funktion g ordnet jedem Paar (m, n) ganzer Zahlen die Summe m+n der Komponenten zu.

Welche Eigenschaften die einzelnen Funktionen f und g haben, ist klar, oder? Die Funktion f ist z. B. sicherlich nicht surjektiv, denn die zweite Komponente der Bildpaare ist ja immer 2, also ein Paar wie z. B. (1, 0) tritt niemals als Bild auf.

Bei den Verkettungen hast Du Dich im zweiten Fall vertan:

Die erste

$\begin{eqnarray*} f \circ g \colon\, \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \longrightarrow \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \qquad (m, n) \longmapsto (m + n - 1, 2) \end{eqnarray*}$

ist korrekt.

Aber die geht von Z nach Z, also es tauchen bei den Urbildern und Bildern nirgendwo mehr Paare auf, sondern nur noch einzelne Zahlen.

$\begin{eqnarray*} g \circ f \colon\, \mathbb{Z} \longrightarrow \mathbb{Z} \qquad m \longmapsto g(f(m)) = \ ? \end{eqnarray*}$

Die Eigenschaften Surjektivität und Injektivität kann man bei den Funktionen dann mehr oder weniger ablesen. Zum Beispiel ist f o g sicher wieder nicht surjektiv, weil die zweite Komponente der Bildpaare eben wieder auf die 2 festgelegt ist. Ein Paar wie (1, 0) wird nie getroffen.

08.11.2009, 11:58

Summerly89

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Danke für die Antwort, das war wirklich gut erklärt, ich habe alles verstanden smile

Aber ich habe trotzdem noch Probleme, wie ich jetzt beiweise, dass f oder f (kringel) g injektiv sind :/ Bei Injektivität muss f(x)=f(y) sein, wie wende ich das nun auf f usw an?
unglücklich

08.11.2009, 15:22

Jacques

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Zitat:

Original von Summerly89

Bei Injektivität muss f(x)=f(y) sein, wie wende ich das nun auf f usw an?

Das ist nur die „Hälfte“ der Definition von Injektivität:

Eine Funktion f heißt genau dann injektiv, wenn für alle Elemente x und y der Definitionsmenge gilt: wenn f(x) = f(y), dann x = y.

Also wenn zwei Funktionswerte gleich sind, dann sind auch immer die Argumente gleich. Oder anders formuliert: Verschiedene Argumente werden immer auf verschiedene Funktionswerte abgebildet, niemals auf denselben. Jedes Element der Zielmenge tritt höchstens einmal als Funktionswert auf.

Die Funktion g ist z. B. sicherlich nicht injektiv, denn wegen der Kommutativität der Addition gilt etwa g(1, 2) = g(2, 1) = 3. Ist f injektiv? Kann ein Funktionswert noch ein zweites Mal auftreten?

Dasselbe musst Du bei den beiden Verkettungen überlegen. Auf die Eigenschaften der Funktionen kommt man wirklich allein durch Überlegen, man muss nichts berechnen o. ä.

08.11.2009, 18:38

AlgiBRA

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Zitat:

Original von Jacques

Aber die geht von Z nach Z, also es tauchen bei den Urbildern und Bildern nirgendwo mehr Paare auf, sondern nur noch einzelne Zahlen.

$\begin{eqnarray*} g \circ f \colon\, \mathbb{Z} \longrightarrow \mathbb{Z} \qquad m \longmapsto g(f(m)) = \ ? \end{eqnarray*}$

Hallo,
komme einfach nicht auf die gof Funktion traurig

Unter g(f(m)) kann ich mir einfach nix vorstellen. Denn g erwartet doch 2 Variablen. traurig

Und mit f gebe ich doch nur eine oder? Oder ist g(f(m)) vllt folgendes:

$\begin{eqnarray*} g(f(m))= (m-1) + 2 \end{eqnarray*}$

mfg

08.11.2009, 19:02

Jacques

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Genau, vollkommen richtig. Freude

Als Schema sieht die Verkettung so aus:

$\begin{eqnarray*} m \xrightarrow[]{\quad f \quad} f(m) \xrightarrow[]{\quad g \quad} g(f(m)) \qquad\qquad m \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

Und konkret:

$\begin{eqnarray*} m \xrightarrow[]{\quad f \quad} f(m) = (m-1, 2) \xrightarrow[]{\quad g \quad} g(f(m)) = g(m-1, 2) = (m-1) + 2 = m+1 \qquad\qquad m \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

Die Funktion f bildet eine ganze Zahl m zuerst auf das Paar (m-1, 2) ab. Und dieses Paar wird dann wiederum von g auf die Summe (m-1)+2 der Komponenten abgebildet.

Also

$\begin{eqnarray*} g \circ f\colon\, \mathbb{Z} \longrightarrow \mathbb{Z} \qquad m \longmapsto m + 1 \end{eqnarray*}$

Natürlich entsteht bei der „Verarbeitung“ der Eingabezahl m zwischendurch ein Paar, aber das wird sofort wieder auf eine ganze Zahl abgebildet:

$\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \xrightarrow[]{\quad f \quad} \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \xrightarrow[]{\quad g \quad}\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

Deswegen geht die Funktion am Ende von Z nach Z.

08.11.2009, 19:05

AlgiBRA

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Ok vielen Dank smile

mfg

08.11.2009, 23:43

Ringo

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Wie untersuche ich denn jetzt g°f auf surjektivität?

Den Rest hab ich, aber dazu hab ich einen totalen Black Out..

09.11.2009, 01:14

Jacques

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Wenn eine ganze Zahl z gegeben ist, gibt es dann eine ganze Zahl m mit

$\begin{eqnarray*} (g \circ f)(m) = m + 1 = z \end{eqnarray*}$

?

Wenn ja, ist die Funktion surjektiv, sonst nicht.

Oder weniger formal: g o f ist eine gewöhnliche lineare Funktion mit der Steigung 1.

03.12.2009, 09:48

Fabian1986

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hey Leute,

wie zeige ich jetz z.B bei f(m)=(m-1, 2), dass sie surjektiv ist?injektiv ist sie das weiß ich(da x=y)

nur die surjektivität macht mir grad Probleme. Laut Definition muss ich doch zeigen:

f(m)=(a, b) a,b aus ZxZ oder nicht?Aber hab da irgendwie grad einen Hänger.

Würde als Beweis in der Klausur sowas reichen:

setze a=1,b=3

f(m)=(1-1, 3) = (0, 3). Das paar würde ja nicht getroffen werden da die 2. Komponente doch immer 2 sein muss?

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