Abbildungen bijektiv

08.11.2009, 12:39	lvvl	Auf diesen Beitrag antworten »
Abbildungen bijektiv Hi, ich versuche gerade folgende Aufgabe zu lösen: fk:R\{0,1}->R\{0,1} (k=1,2,...,6) f1(x)=x,... Die Frage dazu ist ob das ganze jetzt bijektiv ist. Ich versuche jetzt schon die ganze Zeit das zu lösen, aber irgendwie finde ich keinen passenden Ansatz... Wäre toll wenn ihr mir das Erklären könntet wie das mit f1 geht, sodass ich es dann weiter an f2-f6 probieren könnte.
08.11.2009, 13:37	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
f1=id ist trivialerweise bijektiv, das hilft dir nun aber für andere Abbildungen nicht sooo viel, oder ?
08.11.2009, 13:44	lvvl	Auf diesen Beitrag antworten »
Ne, leider nicht wirklich. Die anderen sehen so z.B. aus: f2(x)=1-x, f3(x)=1/x,... Ich verstehen das mit dem R\{0,1} nicht, ich weiß nicht wie ich damit genau umgehen soll...
08.11.2009, 14:00	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \mathbb R \backslash \{ 0,1 \} \end{eqnarray}$ sind alle rellen Zahlen außer 0 und 1. Du mußt jeweils zeigen, daß die Abbildungen bijektiv, also injektiv und surjektiv sind (oder eben nicht sind). $\begin{eqnarray} f: \mathbb R \backslash \{ 0,1 \} \to \mathbb R \backslash \{ 0,1 \} \end{eqnarray}$ injektiv : Für alle $\begin{eqnarray} x\neq y \in \mathbb R \backslash \{ 0,1 \} \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} f(x) \neq f(y) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f: \mathbb R \backslash \{ 0,1 \} \to \mathbb R \backslash \{ 0,1 \} \end{eqnarray}$ surektiv : Für alle $\begin{eqnarray} y\ \in \mathbb R \backslash \{ 0,1 \} \end{eqnarray}$ existiert ein $\begin{eqnarray} x\ \in \mathbb R \backslash \{ 0,1 \} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} y=f(x) \end{eqnarray}$
08.11.2009, 15:45	lvvl	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, danke dir schonmal. Jetzt weiß ich nur noch nicht genau wie ich das genau auf die Aufgaben anwenden soll. Wenn ich jetzt z.B. f(x)=1-x nehme, wie muss ich das genau da einsetzen um zu zeigen das es injektiv bzw. surjektiv, oder auch nicht ist?
09.11.2009, 19:41	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Na gut, das Beispiel mache ich, den Rest machst du. $\begin{eqnarray} 1-x=1-y \Rightarrow x=y \end{eqnarray}$ (subtrahiere 1 und multipliziere mit -1), also injektiv, da die Umkehrung dieser Implikation heißt $\begin{eqnarray} x\neq y \Rightarrow 1-x \neq 1-y \end{eqnarray}$ . (Du wirst ja wohl wissen ,dass $\begin{eqnarray} A \Rightarrow B \Leftrightarrow \neg B \Rightarrow \neg A \end{eqnarray}$ ) $\begin{eqnarray} y\in\mathbb R\backslash \{0,1\}\Rightarrow 1-y\in\mathbb R\backslash\{0,1\} \Rightarrow y=1-(1-y)\in f(\mathbb R\backslash\{0,1\}) \end{eqnarray}$ , also surjektiv.
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