Unendlich viele Würfel in einer Kugel

08.11.2009, 18:01	mathinitus	Auf diesen Beitrag antworten »
Unendlich viele Würfel in einer Kugel In dieser Aufgabe geht es um eine Folge $\begin{eqnarray} V_{n} \end{eqnarray}$ . Gesucht ist deren explizite Darstellung. Die Folge stellt das Volumen eines geometrischen Objekts, das Stück für Stück an Volumen zunimmt, dar. Ausgangspunkt ist eine leere Kugel mit dem Radius 1. Ein Schritt besteht nun darin, den größtmöglichsten Würfel, der in diese Kugel passt (Tipp: Im ersten Schritt ist die Diagonale des Würfels 2 (der doppelte Radius)) zu finden. Nun baut man diesen Würfel so oft wie möglich in die Kugel ein (im ersten Schritt geht das genau ein Mal) und bestimmt das Volumen aller Würfel. Genau das ist dann das entsprechende Folgenglied. So hätten wir: $\begin{eqnarray} V_{0}=0 \end{eqnarray}$ (hier haben wir noch keinen Würfel) $\begin{eqnarray} V_{1}=\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^3=\frac{8}{9}\sqrt{3} \end{eqnarray}$ Zum besseren Verständnis: Im nächsten Schritt kämen zu dem einen großen Würfel 6 kleinere hinzu (an jeder Seite des großen Würfels einer).
08.11.2009, 18:09	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast du denn überhaupt einen Plan, nach welcher konstruktiven Regel die Würfelfolge nach Stufe 1 weitergehen soll? Bisher lässt du da Deutlichkeit vermissen - verstehe ich, denn so einfach und offensichtlich ist das nämlich nicht. Aber ohne eine solche Beschreibung ist die Aufgabenstellung nicht vollständig. EDIT: Achso, in jedem Schritt sollen erstmal maximal große Würfel (also die gerade noch reinpassen) eingebaut werden. Oje, das sehe ich schwarz, überhaupt irgendeine Regelmäßigkeit zu entdecken - außer, dass $\begin{eqnarray} V_n \end{eqnarray}$ streng monoton wachsend ist und immer kleiner als $\begin{eqnarray} \frac{4}{3}\pi \end{eqnarray}$ bleibt.
08.11.2009, 20:23	mathinitus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde sogar tippen, dass $\begin{eqnarray} \frac{4}{3}\pi \end{eqnarray}$ der Grenzwert ist
08.11.2009, 20:57	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Selbstredend.
20.11.2009, 12:17	mathinitus	Auf diesen Beitrag antworten »
Traut sich denn keiner an diese Aufgabe rann?

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »