Verschärfung des Borel-Cantelli Lemmas

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kiste Auf diesen Beitrag antworten »
Verschärfung des Borel-Cantelli Lemmas
Hallo,

ich hab folgende Aufgabe:
Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum, eine Folge von Erergnissen so, dass und . Zeige dass gilt:


So die Beweisidee habe ich denke ich schon:
Wir haben also auch .
Damit ist

Also gilt unendlich oft und damit ist auch und somit die Vorraussetzung des "normalen" Borel-Cantelli Lemmas gegeben.

Wie man sieht benötigt die letzte Schlussfolgerung noch etwas schlüssigere Begründungen.
Irgendwelche Ideen?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kiste
Also gilt unendlich oft und damit ist auch

Diese Schlussfolgerung ist ja i.a. falsch. Wenn ich das richtig verstehe, besteht jetzt deine Hoffnung darin, mit Hilfe der noch gar nicht benutzten Voraussetzung



diesen Schritt zu retten? verwirrt
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ja das war der Plan. Aber irgendwie zweifle ich gerade daran dass ich so weiterkomme. Ich meine wenn das gilt wäre es ja keine Verschärfung des Lemmas oder? Augenzwinkern

Okay was habe ich sonst noch zur Verfügung?
Wenn ich die Konvergenz der Reihe für Borel-Cantelli benutze weiß ich dass nicht unendlich oft eintritt und ich weiß bereits dass unendlich oft eintritt.
Aber daraus sehe ich gerade keinen Weg zu folgern dass die Wahrscheinlichkeit dass unendlich oft eintritt 0 ist.
Immerhin könnte ja eintreten gerade wenn gerade mal nicht eintritt?

Wenn ich das ganze auf den limsup sprich zu zeigen: zurückführe fällt mir auch keine direkte Umformung ein die mir hilft.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde von der Seite rangehen: Aus folgt gemäß Borel-Cantelli

.

Vielleicht kommt man von da unter Zuhilfenahme von



etwas weiter?

EDIT: ... Ja, so müsste es klappen. Augenzwinkern
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo kiste,

ich habe es etwas anders versucht, und zwar indem ich folgende Abschätzung benutzt habe:



Was man zeigen muss, ist, dass und verschwinden.

Gruß
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versuche mal den Weg von Arthur weiter.

Also habe ich nach deiner Mengeninklusion:
(Monotonie eines Maßes)

Außerdem gilt und nach De-Morgan außerdem noch .
Ich sehe noch nicht ganz wie ich letzteres eliminieren kann.
Ich habe ja "nur noch" zur Verfügung dass bzw. eben
 
 
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Hmmm, so klappt es wirklich nicht. Ich hätte auch anders argumentiert:

bedeutet

für . (*)

Nun können wir abschätzen



Die rechte Seite konvergiert nun für gegen Null: Der erste Summand wegen (*), der zweite nach Voraussetzung...
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Argh klar. Ich kann zwar für den ersten Term nicht die Stetigkeit von oben benutzen aber natürlich für den zweiten...
Da war ich wohl etwas blind. Forum Kloppe
Danke dir Wink
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe auch grad noch was in meiner Argumentation: Am Anfang gleich Borel-Cantelli zu bemühen, ist vielleicht etwas zu abgehoben - man kann ja direkt aus auf die Nullfolgen-Eigenschaft des Reihenrestes

für

schließen. Gefällt mir besser, weil elementarer. Augenzwinkern
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist gerade der Beweis von Borel-Cantelli Augenzwinkern
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ja eben: Aber warum soll ich erst Borel-Cantelli anwenden, zum limsup übergehen, den dann wieder zerlegen ... wenn ich das ganze limsup-Zeug am Anfang ganz sein lassen kann? Augenzwinkern
KA88 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo AD,

ich habe mal versucht mir klar zu machen, warum die Inklusion



gilt, aber ich komme nicht drauf. Was steckt dahinter?
Gilt etwa für alle ?

THX
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