Dualraum

09.11.2009, 00:53

Nani

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Dualraum

Guten Abend liebe Leute!

Ist euch aufgefallen? :-)
..ich melde mich nicht mehr sooo viel ;-)

Zu dieser Aufgabe hätte ich allerdings eine Frage:

[attach]11877[/attach]

Damit A* eine Basis ist, muss sie zum Einen linear Unabhängig sein, und zum anderen ein Erzeugendensystem haben.

Soweit so gut.

Nun wäre mein Vorgehen, eine Linearkombination der 0 zu finden.
Die a*_i werden ja linear kombiniert, also Hom V-->K, das Ergebnis ist dann wiederum ein Hom V-->K.

Meine Frage ist nun einfach, wie denn eine ("ideale") Linearkombination aussschauen würde.
Habe nun schon über 10 Versuche gemacht, aber noch keine "schlaue" Linearkombination herausgefunden :-(

Die Frage, wie man zeigt, dass es ein Erzeugendensystem ist, erübrigt sich dann hoffentlich nachdem das mit der linearen Unabhängigkeit geregelt ist :-)

Liebe Grüsse,
Nani

09.11.2009, 18:32

Reksilat

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RE: Dualraum
Hi Nani,

Zitat:

Zeigen sie das $\begin{eqnarray*} A^* \end{eqnarray*}$ ein Basis von $\begin{eqnarray*} A^* \end{eqnarray*}$ ist.

Geile Aufgabe! ROFL

ROFL

Im Ernst: Eine LK der Elemente von $\begin{eqnarray*} A^* \end{eqnarray*}$ sieht so aus:
$\begin{eqnarray*} \alpha:=\sum_{i=1}^n\lambda_ia_i^* \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} \lambda_i\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Nimm nun an, dass diese LK die Null in $\begin{eqnarray*} V^* \end{eqnarray*}$ ist, wir hier also ein Funktion haben, die alle Elemente aus $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ auf 0 abbildet. Folgere daraus, dass $\begin{eqnarray*} \lambda_i=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} i=1..n \end{eqnarray*}$ ist.

Interessant ist es hier vor allem, sich die Bilder der Basisvektoren unter $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ anzuschauen.

Gruß,
Reksilat.

09.11.2009, 20:13

Nani

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RE: Dualraum
Hee danke für die Hilfe!

Also, das hab ich mal wie folgt gemacht:

Seien $\begin{eqnarray*} \alpha_1, ..., \alpha_n , \alpha \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gegeben und seien $\begin{eqnarray*} \alpha_1a^*_1 + .... + \alpha_na^*_n = 0 \end{eqnarray*}$
Wir nehmen an: $\begin{eqnarray*} 0 \leq a^*_1 < a^*_2 < ... < a^*_n \leq 1 \end{eqnarray*}$
Daraus folgt: $\begin{eqnarray*} \alpha_i (a^*_1 + ... + a^*_n) \rightarrow \alpha_i = 0 \end{eqnarray*}$ --> linear unabhängig.

Stimmt das so?
Nun wäre ja noch das Erzeugendensystem zu zeigen, was mir Mühe bereitet. (Sehe nicht, wie zeigen)

09.11.2009, 20:20

Reksilat

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RE: Dualraum

Zitat:

Wir nehmen an: $\begin{eqnarray*} 0 \leq a^*_1 < a^*_2 < ... < a^*_n \leq 1 \end{eqnarray*}$

Das ist Unfug! Die $\begin{eqnarray*} a_i^* \end{eqnarray*}$ sind Vektoren bzw. Abbildungen. Da gibt es keine Ordnung und mit 0 und 1 kann man sie erst recht nicht vergleichen. unglücklich

unglücklich

Zitat:

Daraus folgt: $\begin{eqnarray*} \alpha_i (a^*_1 + ... + a^*_n) \rightarrow \alpha_i = 0 \end{eqnarray*}$ --> linear unabhängig.

Was meinst Du damit? $\begin{eqnarray*} \alpha_i (a^*_1 + ... + a^*_n) \end{eqnarray*}$ ist keine Aussage. Ich verstehe kein Wort. verwirrt

verwirrt

Edit:
Ich habe oben eine Abbildung $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ definiert. Rechne doch mal $\begin{eqnarray*} \alpha(a_1) \end{eqnarray*}$ aus.

Gruß,
Reksilat.

09.11.2009, 21:08

Nani

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RE: Dualraum
Das ist doch dann:

$\begin{eqnarray*} \alpha_1a_1 + \alpha_2a_2 + ... + \alpha_na_n \end{eqnarray*}$ , also:

$\begin{eqnarray*} 1 + 0 + ... + 0 \end{eqnarray*}$ (das ist doch so, wegen der Bedingung ("ist definiert durch", oder?)

09.11.2009, 21:19

Reksilat

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RE: Dualraum
Herrgottnochmal! böse

böse

$\begin{eqnarray*} \alpha_1a_1 + \alpha_2a_2 + ... + \alpha_na_n \end{eqnarray*}$ ist keine Aussage! Genausowenig wie $\begin{eqnarray*} 1+0+...+0 \end{eqnarray*}$ .
So kann man doch nicht argumentieren.

Wie soll ich denn verstehen, was Du sagen willst, wenn Du nicht mal eine vernünftige Aussage hinbekommst.

Beispiel:

Aussagen:
$\begin{eqnarray*} 4=5 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} 8\geq 3 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} U\subseteq V \end{eqnarray*}$ , "Die Katze tritt die Treppe krumm", $\begin{eqnarray*} \pi\not\in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$

Terme:
$\begin{eqnarray*} \frac{2}{5} \end{eqnarray*}$ , Katze, $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} b+3 \end{eqnarray*}$

Erkennst Du den Unterschied?

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09.11.2009, 21:45

Nani

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RE: Dualraum
Tut mir leid!

Du hast ja gesagt, ich soll mal $\begin{eqnarray*} \alpha(a_1) \end{eqnarray*}$ ausrechnen:

$\begin{eqnarray*} \alpha(a_1) = \alpha_1a_1 + \alpha_2a_2 + ... + \alpha_na_n \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} \alpha(a_1) = 1 + 0 + ... + 0 = 1 \end{eqnarray*}$

09.11.2009, 21:53

Reksilat

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RE: Dualraum
Das soll mal einer verstehen. Ich hatte ja mein $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ mit den $\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$ definiert und jetzt tauchen $\begin{eqnarray*} \alpha_i \end{eqnarray*}$ auf. Wie Du auf die Gleichungen kommst, bleibt mir trotzdem unklar. Vor allem wo auf einmal $\begin{eqnarray*} a_2,...,a_n \end{eqnarray*}$ herkommen.

Also gut, sei eben $\begin{eqnarray*} \alpha:=\alpha_1a_1^*+...+\alpha_na_n^*=0 \end{eqnarray*}$ .

Dann ist
$\begin{eqnarray*} 0=\alpha(a_1)=\alpha_1a_1^*(a_1)+...+\alpha_na_n^*(a_1) \end{eqnarray*}$ .

Wie kann man die rechte Seite dieser Gleichung nun anders schreiben?

09.11.2009, 22:26

Nani

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RE: Dualraum
Mein Fehler - sorry!
Es ist natürlich Lambda, und nicht Alpha!

Man kann schreiben:

$\begin{eqnarray*} 0 = \lambda(a_1) = \lambda_i(a^*_1(a_1) + ... + a^*_n(a_1)) \end{eqnarray*}$

09.11.2009, 22:33

Reksilat

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RE: Dualraum
Bitte lege Dich jetzt auf eine Definition von $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ fest. ich werde sonst wahnsinnig. traurig

traurig

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 0 = \lambda(a_1) = \lambda_i(a^*_1(a_1) + ... + a^*_n(a_1)) \end{eqnarray*}$

Auch das ergibt keinen Sinn, da die $\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$ verschieden sein können. Außerdem müsstest Du hier noch festlegen was $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ sein soll.

Mach hier weiter:
$\begin{eqnarray*} 0=\alpha(a_1)=\alpha_1a_1^*(a_1)+...+\alpha_na_n^*(a_1) \end{eqnarray*}$
und verwende die Definition der $\begin{eqnarray*} a_i^* \end{eqnarray*}$

09.11.2009, 23:04

Nani

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RE: Dualraum
$\begin{eqnarray*} 0 = \alpha(a_1)=\alpha_1a_1^*(a_1)+...+\alpha_na_n^*(a_1) = \alpha_1 \cdot 1 + ... + \alpha_n \cdot 0 = \alpha_1 + 0 + ... + 0 = \alpha_1 \rightarrow \alpha_1 = 0 \end{eqnarray*}$ , d.h. lineare Unabhängigkeit ist bewiesen. smile

smile

10.11.2009, 02:25

Nani

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RE: Dualraum
PS: Wie würde man zeigen, dass A* ein Erzeugendensystem ist?

10.11.2009, 11:03

Reksilat

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RE: Dualraum
Das sieht auf jeden Fall besser aus. Freude

Freude

Nun musst Du zeigen, dass man jede Abbildung aus $\begin{eqnarray*} V^* \end{eqnarray*}$ als Linearkombination der $\begin{eqnarray*} a_i^* \end{eqnarray*}$ darstellen kann. Dazu solltest Du Dir zuerst überlegen, wodurch man lineare Abbildungen am besten beschreiben kann.

Gruß,
Reksilat.

10.11.2009, 16:59

Nani

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RE: Dualraum
Es wird ja folgendes abgebildet:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 \\ . \\ . \\ . \\ a_n \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} a^*_1 \\ . \\ . \\ . \\ a^*_n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie sich eine lineare Abbildung am besten beschreiben lässt, kann ich dich in Worten zwar sagen, aber leider eben nicht in mathematischer Form.

(In Worten wäre dies etwa: Jedes Element von A (A Basis von V) wird auf A* (A* sei Basis von V* (was eigentlich zu zeigen wäre, wenn diese "Behauptung" allerdings stimmt, so würde das daraus folgen)) abgebildet.

10.11.2009, 17:06

Reksilat

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RE: Dualraum

Zitat:

Es wird ja folgendes abgebildet...

Das stimmt einfach nicht! Davon steht nix in der Aufgabe. Lies Dir bitte mal etwas mehr Hintergrundwissen an. Es kann doch nicht sein, dass Du an eine Aufgabe zum Dualraum herangehst, ohne überhaupt die wichtigsten Begriffe zu verstehen.

Ein Element des Dualraums $\begin{eqnarray*} V^* \end{eqnarray*}$ ist eine Abbildung von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ in den Körper $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ .

Und wieso Du bei der Frage nach der Beschreibung einer linearen Abbildung den Dualraum ins Gespräch bringt, bleibt mir schleierhaft. Du wirst mir nicht ernsthaft erzählen wollen, dass Ihr in der Vorlesung den Dualraum vor den linearen Abbildungen behandelt habt.

Gruß,
Reksilat.

10.11.2009, 17:23

Nani

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RE: Dualraum

Zitat:

Original von Reksilat

Du wirst mir nicht ernsthaft erzählen wollen, dass Ihr in der Vorlesung den Dualraum vor den linearen Abbildungen behandelt habt.

Nein, haben wir nicht.

Also, restart: Ich würde konkret so vorgehen:

$\begin{eqnarray*} \forall \psi \in V^* \end{eqnarray*}$ existieren Koeffizienten $\begin{eqnarray*} \lambda_1, ..., \lambda_n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \psi = \sum_{i=1}^n~\lambda_ia^*_i \end{eqnarray*}$

Dann würde ich annehmen, dass es ein solches psi gibt und ein "geeignetes" wählen, dass ich zeigen kann, dass A* ein Erzeugendensystem ist.

Wenn dieses Vorgehen stimmen würde, so bräuchte ich eigentlich nur noch einen Tipp, wie denn ein solches "geeignetes" aussehen könnte..

PS: Tschuldige wegen dem dummen Post von vorhin - A ist ja eine Basis, die kann ja gar keine lineare Abbildung "beschreiben".

10.11.2009, 17:29

Reksilat

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RE: Dualraum

Zitat:

Original von Nani
$\begin{eqnarray*} \forall \psi \in V^* \end{eqnarray*}$ existieren Koeffizienten $\begin{eqnarray*} \lambda_1, ..., \lambda_n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \psi = \sum_{i=1}^n~\lambda_ia^*_i \end{eqnarray*}$

Das ist zu zeigen. OK.

Zitat:

Dann würde ich annehmen, dass es ein solches psi gibt und ein "geeignetes" wählen, dass ich zeigen kann, dass A* ein Erzeugendensystem ist.

Das verstehe ich nicht. Du sollst doch zeigen, dass es für jedes beliebige $\begin{eqnarray*} \Psi \end{eqnarray*}$ solche Koeffizienten $\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$ gibt.

Ein "geeignetes" $\begin{eqnarray*} \Psi \end{eqnarray*}$ kannst Du nicht wählen. Es kommt hier irgendjemand, knallt Dir so ein $\begin{eqnarray*} \Psi \end{eqnarray*}$ hin - Peng! - und Du musst nun solche $\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$ angeben können.
An dem $\begin{eqnarray*} \Psi \end{eqnarray*}$ kannst Du nichts mehr verändern, Du kannst aber mal schauen, wodurch diese Abbildung eindeutig beschrieben wird.

10.11.2009, 17:50

Nani

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RE: Dualraum
Ich würde wie folgt argumentieren
(ist zwar etwas plump, aber nicht unbedingt falsch (meiner Meinung nach..)):

Es ist ja: $\begin{eqnarray*} \psi = \lambda_1a^*_1 + \lambda_2a^*_2 + ... + \lambda_na^*_n \end{eqnarray*}$

Die $\begin{eqnarray*} a^*_i \end{eqnarray*}$ sind nach Aufgabenstellungs-Definition in V* und die $\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$ sind ("unabhängige") Skalare Element IR.

Das heisst, die Behauptung würde gelten.

10.11.2009, 18:10

Reksilat

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RE: Dualraum
Das ist doch das was Du zeigen sollst. Woher sollen denn die $\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$ kommen? verwirrt

verwirrt

Mal ein Beispiel:
Sei $\begin{eqnarray*} V=\mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \Psi:V\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Psi\left(\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\right):=x-2y \end{eqnarray*}$ .

Wie man leicht nachprüft, ist das eine lineare Abbildung von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ in den zugrundeliegenden Körper und somit $\begin{eqnarray*} \Psi\in V^* \end{eqnarray*}$ .

Was wären denn nun die $\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$ ?
Was wären hier überhaupt $\begin{eqnarray*} a_1^*,...,a_n^* \end{eqnarray*}$ ?

10.11.2009, 18:52

Nani

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RE: Dualraum
$\begin{eqnarray*} \psi: V \to V^* \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \psi(\begin{pmatrix} a_1 \\ . \\ . \\ . \\ a_j \end{pmatrix} ) : = \lambda_1a^*_1 + ... + \lambda_ia^*_i \end{eqnarray*}$

10.11.2009, 18:56

Reksilat

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RE: Dualraum
Liest Du überhaupt was ich schreibe? Hat Dein $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ etwas mit dem $\begin{eqnarray*} \Psi \end{eqnarray*}$ bei mir zu tun? Ich verstehe Dich leider einfach nicht.

10.11.2009, 19:29

Nani

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RE: Dualraum
Ich habe einfach versucht, das allgemeine Psi von meiner Aufgabe wiederzugeben.

Auf dein Psi bezogen wäre es:

$\begin{eqnarray*} \psi(\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2\end{pmatrix} ) : = \lambda_1a^*_1 - 2\lambda_2a^*_2 \end{eqnarray*}$

10.11.2009, 19:34

Reksilat

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RE: Dualraum
In Deiner Aufgabe gibt es kein $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ ! Wie soll ich Dir denn helfen, wenn Du ständig die Bezeichnungen wechselst?

Mit dem $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ aus Deinen vorherigen beiden Beiträgen kann ich absolut nichts anfangen.

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